Decken

In der Regel wird ein Raum nach oben durch eine Decke, seltener durch ein Dach begrenzt. Je nachdem, ob die Decke einen Raum nach oben abschließt oder ihn von einem darüber liegenden Raum trennt, kann man unterscheiden:

• a) Decken, über denen sich kein nutzbarer Raum befindet und die daher keinen Fußboden tragen müssen,
• b) Decken, über denen sich ein oder mehrere genutzte Räume befinden und die deshalb einen Fußboden tragen müssen.

Da die Holzbalkendecken bereits im I. Band dieses Handbuches erörtert wurden, erübrigt sich noch die Besprechung der massiven Decken. Diese lassen sich hinsichtlich ihrer Konstruktion unterteilen in:

1. eiserne Balkendecken mit Ausfüllung der Balkenzwischenräume durch Steine oder Mörtelkörper,
2. gewölbte Decken oder Gewölbe aus Ziegelsteinen und Natursteinen.

1. Eiserne Balkendecken mit Ausfüllung der Deckenfelder durch Steine oder Mörtelkörper

Kleinesche Decke

Unter den Eisenbalkendecken mit Steinausfachung hat die Kleinesche Decke die häufigste Anwendung gefunden; ihr Patentinhaber ist der Baumeister J. F. Kleine aus Erbach am Rhein. Das Wesentliche dieser Konstruktion ist die Herstellung einer ebenen Steinplatte unter Verwendung gewöhnlicher Ziegelsteine, Lochsteine, rheinischer Schwemmsteine oder Formsteine im Format $10 \times 12 \times 25\text{ cm}$. In die Lagerfugen werden von Auflager zu Auflager reichende, hochkant gestellte Flacheisen von $1 : 25$ bis $2 : 35\text{ mm}$ Stärke eingebettet. Das Mauern geschieht mit flachseitig oder hochkant gerichteten Steinen auf einer horizontalen Schalung (vgl. Taf. 1 und 2); als Bindemittel ist Zementmörtel zu verwenden.

Wird eine ebene Unteransicht gewünscht, lässt man die Steinplatte 1 bis 2 cm unter die Trägerunterkante (Fig. 365) herabreichen und schließt die unter dem Trägerflansch entstehende Nut mit Zementmörtel. Dieser haftet bekanntlich fest am Eisen und verhindert dessen Rosten. An den Außenwänden des zu überwölbenden Raumes stemmt man entweder eine Nut zur Aufnahme der Deckensteine aus (Fig. 366) oder schafft für diese ein Auflager, indem man einige Steinschichten auskragt (Fig. 367).

Soll die Platte aus einer flachen Ziegelschicht hergestellt werden, empfiehlt sich die Anordnung von $1/2$ Stein hohen Verstärkungsrippen in Abständen von etwa 40 cm (Fig. 368).

Für manche Nutzungszwecke (Keller-, Arbeits- und Lagerräume) wird häufig auf eine ebene Unteransicht verzichtet, um eine möglichst leichte Decke zu erhalten und ein größeres Luftvolumen in den Räumen zu erzielen. Die Unterstützung der Deckenplatten erfolgt dann durch Betonkonsolen (Fig. 369) oder Winkeleisen (Fig. 370).

Die große Feuersicherheit der Kleineschen Decke wurde durch behördlich durchgeführte Brandproben wiederholt nachgewiesen. Bei den Brandproben, die im Jahr 1893 auf Veranlassung der Feuerversicherungs-Verbände unter der Leitung von Branddirektor Stude in Berlin an verschiedenen Deckenarten durchgeführt wurden, widerstand eine mit rheinischen Schwemmsteinen hergestellte, von unten verputzte Kleinesche Decke der 75 Minuten lang einwirkenden, bis auf $1100^\circ\text{ C.}$ gesteigerten Brandglut. Nach dem Ablöschen blieb sie vollständig tragfähig. Sie wurde daher von den Preisrichtern als absolut feuersicher eingestuft, und dem Erfinder wurde der ausgelobte Preis zuerkannt.

Zur Ermittlung der Tragfähigkeit führte das Königliche Polizeipräsidium in Berlin verschiedene Belastungsprüfungen an 12 cm starken Deckenplatten durch. Eine 1,04 m weit gespannte Platte zeigte bei einer Belastung von $11300\text{ kg/qm}$ am ersten Tag keine Veränderung und nach 14 Tagen eine Durchbiegung von nur 2 mm. Eine andere, 2,08 m weit gespannte Decke wies dagegen bei einer Belastung von $4900\text{ kg/qm}$ am ersten Tag 8 mm und nach 14 Tagen 10 mm Durchbiegung auf. In der Provinzial-Irrenanstalt in Neuruppin wurden $1/2$ Stein starke Deckenplatten mit 2,75 und 3,13 m Spannweite nach dreiwöchiger Erhärtung einer Belastung von $2000\text{ kg/qm}$ ausgesetzt, ohne irgendeine Veränderung zu zeigen.

Die Tragfähigkeit und Sicherheit der Kleineschen Decke geht somit weit über die praktischen Anforderungen hinaus.

Schürmannsche Decke

Eine fast ebenso weite Verbreitung hat die Schürmannsche Decke oder Gewölbeträger-Decke gefunden, deren Patentschutz vor Kurzem vom Erfinder der Kleineschen Decke erworben wurde. Sie unterscheidet sich von der eigentlichen Kleineschen Decke hauptsächlich dadurch, dass die Eiseneinlagen nicht in jede Lagerfuge, sondern in Abständen von 3 bis 5 Steinschichten eingelegt werden. Diese Einlagen (Fig. 371) sind so geformt, dass die schrägen Ausbuchtungen als Widerlager für die benachbarten Steine dienen, während die entsprechenden Vertiefungen den Mörtel aufnehmen. Dadurch entsteht eine feste Verdübelung in der Mörtelfuge, und jede Verschiebung zwischen Stein und Eisen wird ausgeschlossen. Diese Buckelschienen werden meist in einer Höhe von 60 mm und einer Stärke von $1\ \frac{1}{4}\text{ mm}$ aus bestem Qualitätseisen gewalzt. Nach amtlichen Zugversuchen besitzen sie eine durchschnittliche Festigkeit von $5300\text{ kg/qcm}$.

Für die Ausführung der Decke ist wie bei der Kleineschen Decke eine Unterschalung erforderlich. Diese wird meist so angebracht, dass zwischen ihr und den unteren Trägerflanschen ein Spielraum von etwa 1 cm verbleibt. Dieser Spielraum wird erzielt, indem man eine 1 cm starke Leiste zwischen Schalung und Trägerflansch einlegt.

Die erste Steinschicht wird an das schräg zugehauene Widerlager der Mauer gelegt und erhält dadurch eine leicht geneigte Lage. Die folgende Schicht wird senkrecht auf die Schalung gesetzt, die dritte wieder schräg, passend zum Widerlager der danach einzulegenden Buckelschiene. Dadurch entstehen zwischen den einzelnen Steinschichten keilförmige Fugen (Fig. 372). Die Deckenfelder zwischen zwei Buckelschienen wirken wie flach gekrümmte Gewölbekappen (vgl. Taf. 3 und 4). Ihr Seitenschub wirkt in gleicher Richtung wie die Hauptträger, ist wegen der geringen Spannweite der Kappen jedoch so klein, dass eine Verstärkung oder Verankerung der Widerlagermauern nicht erforderlich ist. Anschließend wird die erste Steinschicht der zweiten Kappe wieder schräg gegen das andere Widerlager der Wellblechschiene verlegt und auf diese Weise mit dem Wölben bis zum vollständigen Schließen des Deckenfeldes fortgefahren. Das Vermauern der Steine erfolgt am besten in der in Fig. 373 gezeigten Reihenfolge, damit die an den Buckelschienen anliegenden Steine in ihrer geneigten Lage bleiben.

Sobald ein Gewölbefeld vollständig geschlossen ist, gießt man dünnflüssigen Mörtel darüber und verteilt ihn mit dem Besen, um die Fugen ordentlich abzudichten. Bei kleineren Spannweiten (unter 1,20 m) kann die Schalung nach 2 bis 3 Tagen entfernt werden. Dabei ist jedoch zu berücksichtigen, dass das Abbinden des Mörtels durch trockenes Wetter beschleunigt und durch feuchtes Wetter verlangsamt wird.

Die Schalbretter werden entweder parallel zu den Deckenträgern verlegt und dann zweckmäßig auf hochkant gelegten, an den unteren Trägerflanschen befestigten Flacheisen (vgl. Taf. 3 und 4) gelagert, oder man ordnet sie in Querrichtung an. Im letzteren Fall nutzt man vorteilhaft die in Fig. 374 dargestellten Rüsteisen. Diese bestehen aus 40 mm breitem und 8 mm starkem Flacheisen und sind so gebogen, dass die beiden Enden 12 cm weit voneinander abstehen. Die Höhe des Rüstholzes wird geregelt, indem man einen Holzkeil zwischen den oberen Trägerflansch und das darüber eingeschobene Steckeisen treibt. Die Schalung sollte bei Spannweiten bis 1,20 m mindestens 25 mm und bei größeren Spannweiten wenigstens 30 bis 35 mm stark sein, um ein Durchbiegen der Schalung und somit auch der Decke während der Arbeiten zu verhindern.

Eine bequeme und kostengünstige Einschalung waagerechter Decken ermöglichen auch die von Stadtbaumeister Hillbrecht in Husum erdachten anziehbaren Verschalungshalter¹ (Fig. 375).

Diese werden in Abständen von 1,50 m mit dem Haken a über den oberen Trägerflansch geschoben. Danach legt man in den Haken c am unteren Ende des Bolzens b zwei Schalbretter hochkant als durchlaufende Träger der eigentlichen Schalung ein. Die Richtung dieser Bohlenträger kann parallel oder senkrecht zur Trägerrichtung gewählt werden, je nachdem, ob die Haken des Bolzens senkrecht oder parallel zur Trägerrichtung gedreht sind. Anschließend schiebt man die Schalbretter ein und presst sie durch Anziehen des Bolzens mit dem Schlüssel d fest gegen den unteren Trägerflansch. Das Ausschalen erfolgt durch langsames Zurückdrehen des Schlüssels d.

Die zulässigen Spannweiten für Gewölbeträger-Decken können der folgenden Tabelle entnommen werden:

Bis zu einer Stützweite der Buckelschienen von 1,50 m empfiehlt sich eine Mörtelmischung aus 1 Teil Zement, 1 Teil Kalk und 5 Teilen Sand; bei größeren Stützweiten eine Mischung aus 1 Teil Zement und 3 Teilen Sand.

Förstersche Decke

Unter den zahlreichen Deckenkonstruktionen aus gebrannten Lochsteinen mit Sonderformen dürften die Förstersche Massivdecke und die Horizontaldecke nach dem System Messner die weiteste Verbreitung gefunden haben.

Erfinder der ersteren ist Stadtbaumeister Otto Förster aus Wernigerode. Er verwendet Lochsteine von 25 cm Länge, 12 cm Breite und 10 bis 13 cm Höhe, die hakenförmige Widerlager aufweisen (Figur 376).

Diese werden auf einer Brettschalung mit ihren Längsseiten rechtwinklig zur Trägerrichtung im Läuferverband mit verlängertem Zementmörtel verlegt (Fig. 377). Sollen die unteren Trägerflansche verkleidet werden, müssen die dort aufliegenden Steine ausgeklinkt werden. Die am Träger verbleibende Nut wird mit Zement ausgeworfen oder so mit einem Drahtgewebe verkleidet, dass dieses nicht am Träger, sondern durch Nageln in den Fugen der Deckenfelder befestigt wird (Fig. 378). Dadurch kann sich der Träger bewegen, ohne dass Risse im Deckenputz entstehen. Eine wesentlich bessere, aber teurere Umhüllung der Trägerflansche wird durch die Verwendung spezieller Formsteine (Fig. 379) erzielt. Die Auflagerung an den Wänden kann gemäß (Fig. 380) in einer ausgestemmten Nut oder gemäß (Fig. 381) auf ausgekragten Steinschichten erfolgen.

Hinsichtlich der Tragfähigkeit der Försterschen Decke gibt ein Protokoll der Polizeiverwaltung in Frankfurt (Oder) über eine am 6. August 1897 durchgeführte Belastungsprobe Aufschluss. Eine Kappe von 1,20 m Stützweite, die mit 10 cm starken Lochsteinen in Kalk-Zementmörtel ausgeführt war, wurde $3\frac{1}{2}$ Tage

nach ihrer Fertigstellung mit 2125 kg/qm belastet. Obwohl die Kappe ohne Verankerung hergestellt war, zeigte sich nirgends eine Veränderung. Selbst der Träger blieb zur freien Seite hin völlig stabil, und es waren keine Risse im glatten Deckenputz an der Unterseite der Kappe festzustellen.

Horizontaldecke

Die Horizontaldecke wird vom Zementbaugeschäft M. Czarnikow & Comp. in Berlin ausgeführt. Die porösen Lochsteine werden im Gegensatz zur Försterschen Konstruktion parallel zur Trägerrichtung auf $[-Eisen gelagert (Fig. 382), sodass keine Unterschalung der Decke erforderlich ist. Die Steine werden in drei verschiedenen Stärken (8, 10 und 12 cm) geliefert. Die Tragfähigkeit der Decke wurde durch eine vom Königlichen Polizeipräsidium in Berlin veranlasste Probebelastung nachgewiesen. Dabei wurde eine mit 8 cm starken Steinen ausgeführte Decke von 1,50 m Stützweite innerhalb von 4 Tagen schrittweise mit Eisen und Steinen belastet. Der Einsturz erfolgte erst bei einer Belastung von 11400 kg/qm. Es zeigte sich, dass die zur Auflagerung der Steine verwendeten $[-Eisen durch Verbiegung aus ihren Auflagern abgerutscht waren; einen Seitenschub hatte die Decke nicht ausgeübt.

Betondecken

Zur Herstellung von Mörtelkörpern für die Ausfachung von Deckenfeldern wird hauptsächlich Portlandzement verwendet. Dieser wird, gemischt mit Sand, Kies oder Steinschlag, entweder vor Ort in feuchtem Zustand in die Balkenzwischenräume eingestampft, wodurch die eigentliche Betondecke entsteht, oder er dient zur Herstellung von Deckenplatten, die bereits getrocknet von den meisten Zementbaugeschäften bezogen werden können.

Da die Druckfestigkeit von Zement sehr hoch, seine Zugfestigkeit dagegen gering ist, ist einer bogenförmigen Betondecke der Vorzug vor einer ebenen zu geben. Übliche Mischungsverhältnisse sind: 1 Teil Zement, 2 Teile Sand, 3 bis 4 Teile Kies oder Steinschlag für die Kappen und 1 Teil Zement auf 10 Teile Kohlenschlacke oder 1 Teil Kalk auf 8 Teile Kohlenschlacke für die Zwickel .

Soll die Decke mit einem Holzdielenboden versehen werden, können schwalbenschwanzförmig zugeschnittene Lagerhölzer in den Beton eingebettet werden, auf denen die Fußbodenbretter später vernagelt werden (Fig. 383).

Für die Befestigung von Parkettböden schlägt Architekt Ludolff aus Hannover folgende Ausführung vor: Nach Fertigstellung der Betondecke werden die Deckenfelder bis zur Oberkante der Träger mit magerem Schlackenbeton aufgefüllt. Sobald dieser etwas angezogen hat, nagelt man ein Gewebe aus Jute mit 5 cm langen geschmiedeten Nägeln auf. Auf diesem Belag werden der Blindboden mit dem bereits im I. Band dieses Handbuches auf Seite 70 erwähnten Klebemittel aus Kalk und Käse (Kasein) und darauf der Parkettboden durch Nageln befestigt.

Wird der Fußboden durch einen über dem Beton aufgebrachten Zementestrich gebildet, sind die Träger so tief zu verlegen, dass der obere Trägerflansch mindestens 6 cm hoch mit Beton überdeckt ist. Andernfalls lässt sich durch die Erschütterungen der Träger die Entstehung von Haarrissen über und neben den Flanschen nicht vermeiden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich auch, den Estrich mit quadratischen Einkerbungen zu versehen, damit etwaige Haarrisse in den Vertiefungen liegen.

Sollen Betonkappen zwischen massiven Mauern eingespannt werden, gestaltet man die Widerlager zweckmäßig nach (Fig. 384). Es ist nicht ratsam, Betonkappen auf der einen Seite auf einen Eisenträger und auf der anderen Seite auf eine Mauer zu stützen, da im Scheitel leicht Risse entstehen können. In diesem Fall sollte unmittelbar neben der Mauer ein $[-förmiger Träger verlegt werden, der mit dem nächsten Träger zu verankern ist, falls die Wand nicht die nötige Stärke besitzt, um den Seitenschub aufzunehmen (Fig. 385).

Zur Umhüllung der Deckenträger mit Beton nutzt man spezielle Schalkästen aus Bohlen. Diese können gemäß Fig. 386 mittels eiserner Rüsteisen...

an den Trägern aufgehängt oder nach Fig. 387 durch Pfosten gestützt und durch Spreizen gegeneinander verspannt werden. Das Einstampfen des Betons in die Deckenfelder erfolgt erst nach dem vollständigen Erhärten der Widerlager auf die in Fig. 388 dargestellte Weise.

Die Abbildungen 389 bis 393 zeigen Betonkappen, die im Erfurter Bahnhofsgebäude in einem Mischungsverhältnis von 1 Teil Zement und 8 Teilen Kiessand ausgeführt wurden. Über die Belastungsproben, denen diese Decken unterzogen wurden, berichtet die Deutsche Bauzeitung (Jahrgang 1889, Seite 491) ausführlich. An dieser Stelle sei nur erwähnt, dass eine 2,20 m weit gespannte, im Scheitel 11 cm starke Betondecke mit 2850 kg/qm belastet wurde und selbst dann unbeschädigt blieb, als man neben der Belastungsstelle mit einem schweren Hammer auf die Decke schlug.

Bei Betondecken mit ebener Unteransicht ruht ein im Querschnitt rechteckiger Betonkörper auf den unteren Trägerflanschen. Diese Decken üben keinerlei Seitenschub auf die Träger aus, sind jedoch weniger biegesteif als bogenförmige Betonkappen und müssen daher eine größere Stärke erhalten.

In den Werkstätten des Frankfurter Zentralbahnhofs wurden ebene Betondecken mit einer Stärke von nur 8 cm bei 0,80 bis 0,90 m Spannweite aus 1 Teil Zement und 7 Teilen Kohlenschlacke hergestellt, die bereits nach 4 Tagen ausgeschalt wurden.

Sollen die Betonplatten an der Unterseite verputzt werden, ummantelt man die unteren Trägerflansche mit Draht- oder Drahtziegelgewebe. Alternativ bettet man in den Beton, der etwa 1 cm über den Trägerflansch vorsteht, im Abstand von je 20 cm kleine Holzklötze ein und befestigt daran ein Rohrgewebe (Fig. 394). Architekt Ludolff schlägt vor, vor dem Einrüsten an der Unterseite der Decke starke Drähte auszuspannen, die durch Umbiegen an den unteren Trägerflanschen befestigt werden (Fig. 395). Diese bieten dem später aufzubringenden Verputz einen guten Halt.

In Fabriken, Lagerräumen usw., wo es weniger auf Schallschutz als vielmehr auf Feuersicherheit ankommt, können durch die Verwendung von Monierplatten sehr leichte Decken hergestellt werden. Die den Fußboden bildenden, 4 bis 7 cm starken Platten besitzen etwa im unteren Viertel ihrer Höhe eine Drahtgittereinlage und werden auf den oberen Trägerflanschen verlegt. Zur Aufnahme des Deckenputzes dienen 1,5 cm starke Platten, die mit ihren seitlich aufgekanteten Rändern auf den unteren Trägerflanschen aufliegen (Fig. 396). Die Enden des im Kern der Platten liegenden Drahtgewebes ragen etwa 10 cm aus den Platten heraus. Sie werden nach dem Verlegen unter den Trägerflanschen miteinander verflochten, um dem Putz den nötigen Halt zu geben. Die Schallübertragung wird erheblich verringert, wenn gekrümmte Monierplatten bogenförmig zwischen die Träger gespannt und mit einem Füllmaterial überdeckt werden (Fig. 397).

Koenensche Voutendecke

Trotz ihres erst kurzen Bestehens hat eine im Jahr 1897 von Direktor Koenen der Actien-Gesellschaft für Beton- und Monierbau in Berlin erfundene Deckenkonstruktion große Verbreitung gefunden. Diese als Koenensche Voutenplatte bezeichnete Konstruktion ist eine an den Auflagern eingespannte Zementplatte mit Eiseneinlagen. Die Eiseneinlagen werden so in den Mörtelkörper eingebettet, dass bei gleichmäßig verteilter Belastung eine Platte mit annähernd gleichem Biegewiderstand entsteht. Dieses Ziel erreichte Koenen, indem er die Eiseneinlagen am Auflager, wo die Biegemomente am größten sind, nahe der Oberkante einbettete. In der Plattenmitte hingegen, wo die Zugspannungen im unteren Bereich der Platte auftreten, führte er sie dichter an die Unterkante heran. Ruht die Platte zwischen Eisenträgern (Fig. 398), werden die Enden der Eiseneinlagen hakenartig um die oberen Trägerflansche gebogen. Diese Verbindung ist aufgrund der hohen Haftfestigkeit (Adhäsion) zwischen Eisen und Zementmörtel vollkommen unnachgiebig. Wird die Platte zwischen Mauern eingebaut, müssen die Eisenträger durch flach verlegte Flacheisen (Fig. 399) ersetzt werden. Die Eiseneinlage besteht gewöhnlich aus 10 mm starken Rundeisen im Abstand von 6 cm von Mitte zu Mitte. Die enorme Tragfähigkeit dieser Decke, die durch amtliche Belastungsprüfungen mehrfach nachgewiesen wurde, ermöglicht Spannweiten von bis zu 6 m bei einer Stärke von nur 10 cm in der Plattenmitte.

Terrast

Ein mit Drahtgewebe bewehrter Estrich zur Überdeckung eiserner Träger (oder auch von Holzbalken) wird von der Terrast-Baugesellschaft in Berlin unter dem Namen „Terrast“ angeboten. Ein verzinktes Drahtgewebe mit 1,2 mm Drahtstärke und 25 mm Maschenweite wird über die Träger gespannt und an der einen Wand mit Putzhaken befestigt. Darauf wird das Gewebe im ersten Deckenfeld nach unten gedrückt und, sobald es um 1/10 der Feldbreite durchhängt, mit Bindedraht am ersten Träger befestigt. Danach drückt man das Gewebe im zweiten Feld durch, befestigt es am zweiten Träger, und fährt so fort, bis die gesamte Raumbreite auf diese Weise überspannt ist. Die nächste Gewebebahn überlappt die vorherige um etwa 5 cm.

Ist das Drahtnetz über den gesamten Raum gespannt, breitet man über den Trägerflanschen Papierstreifen aus. Darüber sowie über das gesamte Drahtnetz wird eine zweite Lage aus starkem Rollenpapier verlegt. Dabei ist darauf zu achten, dass das Papier überall dicht auf dem Drahtnetz aufliegt. Nun wird ein zweites Drahtgewebe in gleicher Weise wie das erste ausgebreitet und an den Wänden und Trägern befestigt – jedoch so, dass in der Mitte etwa 1 cm Spielraum zwischen den beiden Drahtnetzen frei bleibt. Vor dem Auftragen der Estrichmasse (bestehend aus 1 Teil Zement und 7 Teilen Sand oder 1 Teil Zement, 5 Teilen Sand und 3 Teilen Koksasche) muss das Papier mit einer Gießkanne angefeuchtet werden, damit es sich eng an das untere Drahtnetz anschmiegt.

Die Estrichmasse wird in mehreren Schichten aufgetragen und mit der Schaufel oder Kelle so fest angedrückt, dass keine Hohlräume entstehen. Sobald so viel Masse eingebracht ist, dass die oberen Trägerflansche etwa 4 cm hoch überdeckt sind, wird die gesamte Fläche mit einer Mörtelmischung aus 1 Teil Zement und 3 Teilen Sand abgezogen und mit dem Reibebrett geglättet, sodass eine absolut ebene Fläche entsteht. Zur Herstellung einer ebenen Deckenunterseite können Latten im Abstand von etwa 20 cm auf die unteren Trägerflansche gelegt werden, an denen man ein Rohr- oder Drahtziegelgewebe zur Aufnahme des Putzes befestigt. Damit sich die Latten nicht anheben können, treibt man zwischen ihnen und den oberen Trägerflanschen schräg gestellte Lattenstücke ein und vernagelt sie mit den Deckenlatten (Fig. 400).

Stoltesche Decken

Fertige Deckenplatten liefert die Deutsche Zementbau-Gesellschaft (vormals Paul Stolte) in Berlin unter der Bezeichnung Stoltes Stegzementdielen in Längen von 1 bis 4 m und Stärken von 7 bis 40 cm. Diese sind in Längsrichtung mit Hohlräumen durchzogen, deren Breite das 2- bis $2\frac{1}{2}$-fache ihrer

Höhe beträgt, sodass dazwischen I-förmige Stege entstehen. Zur Erhöhung der Tragfähigkeit sind in die untere Hälfte dieser Stege Flacheisen (Bandeisen) eingebettet.

Bei Trägerabständen bis 1,40 m werden in Wohngebäuden 7 bis 8 cm starke Dielen verwendet, bei Abständen bis zu 1,80 m kommen 10 cm starke Dielen zum Einsatz (Fig. 401). Die Ausführung erfolgt folgendermaßen:

Zuerst umhüllt man die unteren Trägerflansche mit einem Drahtgewebe, damit der Deckenputz gut daran haftet. Danach wird an der Wand ein Keilstück auf die unteren Trägerflansche gelegt. Anschließend schiebt man die rautenförmigen (rhomboidischen) weiteren Dielen (Fig. 402) mit Zementmörtel in den Fugen zusammen. Sämtliche Fugen, sowohl zwischen den einzelnen Dielen als auch an den Trägerflanschen, werden mit Mörtel ausgegossen. Nach dem Verlegen der Dielen in allen Feldern kann sofort die Schüttung eingebracht werden, in die sich die Lagerhölzer für den Fußboden einbetten lassen.

Für Fabrik- und Lagergebäude, in denen die einzelnen Etagen feuersicher voneinander getrennt sein müssen, lässt sich unter Verzicht auf die Ausfüllung der Deckenfelder mit Füllmaterial eine leichte Decke herstellen. Die Dielen werden dabei gemäß Fig. 403 auf einer entsprechend geformten Trägerumhüllung aus Zementbeton gelagert. Der Fußboden wird in diesem Fall meist durch einen 2 cm starken Zementestrich gebildet und kann bei Bedarf mit Linoleum belegt werden.

Bei sehr schweren Lasten (z. B. in Durchfahrten usw.) verwendet man Dielen in einer solchen Stärke, dass sie die gesamte Deckenhöhe ausfüllen (Fig. 404).

Die Herstellung der Dielen erfolgt unter Verwendung von Portlandzement und Quarzsand oder Bimssand. Quarzsand-Zementdielen erreichen die Festigkeit von natürlichem Sandstein und lassen sich nur schwer mit dem Stahlmeißel und Hammer bearbeiten. Aufgrund der integrierten Hohlräume lassen sie sich jedoch in Längs- und Höhenrichtung leicht spalten.

Bimsstein-Zementdielen lassen sich nageln, bohren und sägen. Sie sind den reinen Zementdielen daher vorzuziehen, wenn an der Deckenunterseite Stuckverzierungen angeschraubt werden sollen.

2. Gewölbe

Ein Gewölbe entsteht durch das Zusammenfügung einzelner Steine, die sich an ihren Seitenflächen gegenseitig abstützen. In ihrer Gesamtheit lehnen sie sich so gegen andere Bauteile (Widerlager- oder Stützmauern, Gurtbögen, Rippenbögen), dass sie den Raum dazwischen freitragend überdecken. Meist besitzen sie die Fähigkeit, neben ihrem Eigengewicht auch zusätzliche Lasten (Füllmaterial, Fußboden- und Stützlasten) sicher zu tragen.

Die Bezeichnungen der einzelnen Teile eines Gewölbes stimmen mit denen der Bögen überein (vgl. S. 47 und 48). Zusätzlich ist zu erwähnen, dass Begrenzungswände eines gewölbten Raumes, die keine Widerlager bilden, als Schild- oder Stirnmauern bezeichnet werden.

Im Hochbau werden Natursteine fast nur für Rippen und Gurtbögen von Kreuz- und Sterngewölben und nur äußerst selten für komplette Gewölbe verwendet. Sie erfordern wegen ihres hohen Gewichts sehr starke Widerlagerwände. Zudem verursachen das teure Material und die zeitaufwendige Bearbeitung der einzelnen Wölbsteine erhebliche Kosten. Häufiger werden Werksteine für die Gewölbeansätze (Anfänger) genutzt, wenn das Mauern mit kleinformatigen künstlichen Steinen an dieser Stelle Schwierigkeiten bereitet. Aus diesen Gründen beschränken sich die folgenden Betrachtungen ausschließlich auf Gewölbe aus künstlichen Steinen, insbesondere aus Ziegeln.

Für Gewölbe aus künstlichen Steinen wählt man möglichst leichtes Material wie Lochsteine, poröse Steine und Schwemmsteine, für unbelastete Gewölbe mitunter auch Korksteine.

Nach ihrer Form unterscheidet man folgende Gewölbearten:

• a) Tonnengewölbe ;
• b) Kappengewölbe oder preußische Kappen;

c Klostergewölbe

Klostergewölbe mit den Nebenformen Mulden- und Spiegelgewölbe .

d Kuppelgewölbe

Kuppelgewölbe mit den Nebenformen Hängekuppeln, ellipsoidische Gewölbe, böhmische Kappengewölbe .

e Kreuzgewölbe

Kreuzgewölbe mit der Nebenform Stern- oder Netzgewölbe.

• f) Fächer- oder Trichtergewölbe (normannisches oder angelsächsisches Gewölbe).

a) Tonnengewölbe

Die Laibungsfläche eines Tonnengewölbes kann man sich so entstanden denken, dass sich eine stetig gekrümmte Linie (die „Erzeugende“) entlang einer geraden oder gekrümmten Linie (der „Leitlinie“) bewegt.

Als Erzeugende wählt man meist einen Halbkreis, seltener eine halbe Ellipse, einen Korbbogen oder Spitzbogen. Parabeln oder Kettenlinien können ebenfalls als Erzeugende verwendet werden. Streng genommen erzeugen sie jedoch kein echtes Tonnengewölbe , da für ein solches gilt, dass eine am Kämpferpunkt angelegte Tangentialebene lotrecht stehen muss. Obwohl sich durch die Wahl solcher Profile die größte Tragfähigkeit bei geringstem Materialaufwand erzielen lässt, haben sie im Hochbau wenig Anwendung gefunden. Das liegt wohl hauptsächlich an ihrem wenig gefälligen Aussehen.

Ist die Leitlinie eine gerade, waagerechte Linie, ergibt sich ein gerades Tonnengewölbe . Ist sie dagegen eine ansteigende Gerade, entsteht ein steigendes Tonnengewölbe, das besonders unter Treppenläufen angewendet wird. Wählt man als Leitlinie eine geschlossene, stetig gekrümmte Linie (Kreis oder Ellipse), erhält man ein ringförmiges Tonnengewölbe (Ringgewölbe). Ist die Leitlinie schließlich eine Schraubenlinie, entsteht ein schraubenförmiges Tonnengewölbe (Schneckengewölbe), das vor allem zur Unterstützung von Wendeltreppenstufen dient.

Für den Bau von Tonnengewölben ist das Aufstellen eines mit Brettern oder Latten verschalten Lehrgerüsts erforderlich. Das Wölben geschieht „auf Kuf“, das heißt, die Lagerfugen verlaufen parallel zu den Widerlagern und die Stoßfugen parallel zu den Stirnmauern, wobei sie im Verband wechseln.

Ist die Höhe der Widerlagerwände nicht größer als 3 m, bemisst man ihre Stärke bei einem halbkreisförmigen Profil mit etwa $1/5$ der Spannweite. Wird als Profil ein flacher (gedrückter) Bogen mit einer Pfeilhöhe von $1/3$ bis $1/4$ der Spannweite gewählt, beträgt die Widerlagerstärke $1/4$ der Spannweite. Bei Gewölben mit noch geringerer Pfeilhöhe ist sie mit $2/7$ der Spannweite anzusetzen.

Sind die Widerlagerwände höher als 3 m, müssen die angegebenen Stärken um $1/8$ bis $1/6$ erhöht werden.

Tonnengewölbe mit halbkreisförmigem oder elliptischem Querschnitt in Wohngebäuden, die außer der Fußbodenlast keine weiteren Lasten zu tragen haben, werden bis zu 3 m Spannweite durchgehend in einer Stärke von $1/2$ Stein ausgeführt (Fig. 405). Bis 5 m Spannweite erfolgt die Ausführung ebenfalls in $1/2$ Steinstärke, jedoch mit Verstärkungsgurten in Abständen von 1,5 bis 2 m, die $1\frac{1}{2}$ Stein breit und 1 Stein hoch ausgeführt werden (Fig. 406 und 407). Diese Verstärkungsgurte sind

im Verband mit dem Gewölbe herzustellen. Sie können entweder nach oben (Fig. 408) oder nach unten (Fig. 409) um $1/2$ Stein aus der Gewölbefläche hervortreten.

Gewölbe von 5 bis 6 m Spannweite werden durchgehend 1 Stein stark gemauert (Fig. 410). Bei Spannweiten bis 7 m fügt man Verstärkungsgurte hinzu, deren Breite und Höhe jeweils einer halben Steinlänge ($1/2$ Stein) entspricht (Fig. 411 und 412).

Bei noch größeren Spannweiten lässt man die Gewölbestärke zum Widerlager hin zunehmen, sodass sie dort bei einer Spannweite bis 9 m $1\frac{1}{2}$ Stein-

längen (Fig. 413) und bei 10 m Spannweite 2 Steinlängen beträgt. Auch hier empfiehlt sich die Anordnung von Verstärkungsgurten, die im Verband mit dem Gewölbe stehen (Fig. 414).

Zieht man durch den Mittelpunkt des halbkreisförmigen Profils eines Tonnengewölbes eine Linie, die mit einer durch denselben Punkt gezogenen

Waagerechten einen Winkel von 30° einschließt, verläuft diese annähernd durch die sogenannte Bruchfuge des Gewölbes. Diese ist erfahrungsgemäß bei einem eventuellen

Einsturz des Gewölbes die am stärksten gefährdete Stelle. Um ein Heben dieser Zone durch den Druck zu verhindern, der auf den Gewölbescheitel wirkt und sich zu den Widerlagern fortpflanzt, muss sie belastet werden. Dies geschieht durch das Ausfüllen der Gewölbezwickel mit Mauerwerk oder Beton bis auf mindestens $2/3$ der Rückenhöhe. Diese Hintermauerung sollte nicht im Verband mit den Widerlagerwänden ausgeführt werden, um sie unabhängig von Setzungen der Wände zu halten.

Die Widerlager lassen sich verstärken, indem man die Laibung bis etwa zur Höhe der Bruchfugen durch waagerechte, auskragende Steinschichten herstellt und erst darüber mit dem eigentlichen Wölben beginnt (Fig. 415). Dadurch wird der Schwerpunkt der Widerlagerwände weiter nach innen verlagert und die Spannweite – und somit auch der Schub des Gewölbes – verringert. Diese Auskragungen der Widerlager müssen natürlich gleichzeitig mit den Widerlagerwänden unter Verwendung einer Schablone hergestellt werden, die dem unteren Teil des Gewölbeprofils entspricht. Soll die innere Gewölbelaibung später verputzt werden, ist ein Beihauen der auskragenden Steine nicht erforderlich (Fig. 416). Andernfalls sind Formsteine zu verwenden (Fig. 417).

Treffen zwei Tonnengewölbe auf eine gemeinsame Widerlagerwand, sind die Gewölbeansätze stets bis zur Bruchfuge in waagerechten Schichten

auszuführen (Fig. 418). Andernfalls würde der im Gewölbezwickel liegende keilförmige Mauerkörper (Fig. 419) durch die Auflast versuchen, die Gewölbe auseinanderzutreiben.

Manchmal wird die untere Laibungsfläche der Tonnengewölbe durch hervortretende Längs- und Quergurte in einzelne, meist quadratische Felder, sogenannte „Kassetten“, unterteilt. Für den Bau solcher Gewölbe werden auf der Schalung entsprechend der Kassettenanordnung Holzkästen befestigt (Figur 420), die als Schablone (Lehre) für das Mauerwerk dienen. Die vorspringenden Seitenflächen dieser Holzkästen müssen nach oben hin leicht verjüngt (abgeschrägt) sein, damit sie sich beim Ausschalen des Gewölbes nicht festklemmen. Die Querrippen werden im Verband mit der oberen Gewölbeschale – wie in Fig. 414 dargestellt – „auf Kuf“ gewölbt. Die Längsrippen hingegen führt man als scheitrechte Bögen so aus, dass sie die Querrippen gegeneinander verspannen (Fig. 421). Mit dem Wölben kann auch hier ab der Kämpferlinie begonnen werden (Fig. 422), oder man stellt den unteren Teil bis zur Höhe der Bruchfuge durch waagerechtes Auskragen her (Fig. 423).

Da die Stirnwände der Tonnengewölbe oft nicht für den Einbau von Fenstern genutzt werden können, müssen diese Öffnungen in den Widerlagerwänden des Gewölbes vorgesehen werden. Bei beschränkter Konstruktionshöhe liegt der obere Abschluss der Fenster meist weit über dem Gewölbefuß. Daher muss das Gewölbe auf der Breite des Fensters unterbrochen werden. Als Widerlager für das Gewölbe im Bereich dieser Ausschnitte werden eigenständige Mauerbogen (sogenannte „Gewölbekränze“) in das Hauptgewölbe eingefügt. Gegen diese stützen sich auch jene Gewölbekappen, welche die Verbindung zu den Fenstern herstellen (die sogenannten „Stichkappen“). Der seitliche, senkrechte Abschluss der Stichkappenöffnung (die sogenannten „Ohren“) wird oft durch die Hintermauerung in den Gewölbezwickeln hergestellt. Wo diese Hintermauerung die Öffnung des Ohres nicht ganz schließt, werden darüber $1$ bis $1\frac{1}{2}$ Stein starke Wangenmauern aufgemauert, die der Stichkappe zugleich das nötige Widerlager bieten (Fig. 424).

Die in der Wölbfläche liegende Stärke des Kranzes wird bei größeren Gewölben mit $1$ Stein, bei kleineren mit $\frac{1}{2}$ Stein angenommen und gleich-

zeitig mit dem Hauptgewölbe gemauert, wobei die Durchdringungslinien auf der Schalung aufgezeichnet sind.

Die Laibungsflächen der Stichkappen sind meist Zylinder- oder Kegelflächen, seltener Kugelflächen. In den ersten beiden Fällen kann die Achse eine waagerechte (Fig. 425 und 426) oder eine geneigte Gerade (Fig. 427 und 428) sein.

Das Ermitteln (Ausmitteln) der inneren Durchdringungslinie bereitet keine Schwierigkeiten, wenn man bedenkt, dass senkrecht geführte Schnittebenen sowohl die Zylinder- und Kegelflächen als auch die Kugelflächen (vgl. Fig. 429) in Kreislinien schneiden. Deren Mittelpunkte liegen auf den Achsen der jeweiligen Flächen. Die Schnittpunkte von zwei zusammengehörigen Kreislinien gehören somit beiden Gewölbeflächen an und müssen folglich auf der Durchdringungslinie liegen.

Größere Aufmerksamkeit erfordert die Ermittlung des Kranzes und die Projektion der äußeren Kranzlinie im Grund- und Aufriss. Obwohl die korrekte grafische Darstellung dieser Teile mit der Konstruktion und Ausführung der Wölbungen unmittelbar nichts zu tun hat und sie eher in ein Lehrbuch der darstellenden Geometrie¹ gehören würde, wird sie hier dennoch an einem auf den Tafeln 5 und 6 dargestellten Beispiel durchgeführt, um des

besseren Verständnisses hinsichtlich Lage und Form des Kranzes wegen. Die hier gewählte Stichkappe gehört zu einer Zylinderfläche, deren Achse von innen nach außen ansteigt.

Als Leitlinie ist ein Kreisbogen mit dem Halbmesser $r$ (Fig. 1) gewählt, dessen Mittelpunkt in der waagerechten Ebene $W-W$ und in der lotrechten Ebene $L-L$ liegt. Als Erzeugende wird die parallel zur Zylinderachse vom Scheitel der Leitlinie bis zur inneren Laibungslinie des Tonnengewölbes geführte Gerade 2,2 betrachtet. Die Erzeugende des Rückens der Stichkappe ergibt sich, wenn man im Abstand einer halben ($1/2$) Steinstärke eine Parallele 5,5 zu 2,2 zieht. Der Scheitel der Stichkappe trifft demnach in der Richtung 2,5 auf den Scheitel des Kranzes. Der Querschnitt des Letzteren lässt sich dadurch bestimmen, dass man die in der inneren Laibungsfläche des Tonnengewölbes liegende Stärke bei größeren Gewölben gleich 1 Steinlänge, bei kleineren gleich $1/2$ Steinlänge wählt und die den Kranz nach oben begrenzende Lagerfuge 8,13 nach dem Mittelpunkt $M$ des Tonnengewölbes ausrichtet.

Zur Ermittlung des Gewölbekranzes bedient man sich vorteilhaft einer Hilfsfigur, die den Aufriss der Stichkappe auf einer lotrechten Ebene $C-D$ darstellt, jedoch ohne das Hauptgewölbe zu zeigen. Diese

Hilfskonstruktion ist in Fig. 3 veranschaulicht. Dabei sind die mit $m\ 2$ und $m\ 5$ bezeichneten Kreisbögen die Leitlinien der inneren und äußeren Laibung der Stichkappe, während der mit $m\ 8$ bezeichnete Kreisbogen die Leitlinie einer für den Rücken des Kranzes angenommenen Zylinderfläche darstellt, deren Erzeugende die Gerade 8,8 (Fig. 1) ist.

Die Begrenzungslinien des Kranzes, die als Durchdringungslinien dieser drei Zylinderflächen mit der unteren und oberen Laibungsfläche des Tonnengewölbes auftreten, lassen sich in den drei hier gewählten Projektionen dadurch ermitteln, dass man für jede Zylinderfläche eine beliebige Anzahl von Erzeugenden annimmt und die Schnittpunkte dieser Linien mit der jeweiligen Laibungsfläche des Tonnengewölbes bestimmt.

Für die innere Laibung der Stichkappe wurden als Erzeugende die Kämpferlinie 0,0, die Scheitellinie 2,2 und eine dazwischen liegende Linie 1,1 gewählt. Durch die folgerichtige Übertragung dieser Linien in die Fig. 3 und 2 ergeben sich dort die Schnittpunkte 0, 1 und 2. Durch deren Verbindung erhält man die Projektionen der inneren Durchdringungslinie.

Der in der Hilfskonstruktion in Fig. 3 mit $m\ 5$ beschriebene Kreisbogen zeigt, dass die Kämpferlinie des Stichkappenrückens in der Höhe des Punktes 3 liegt. Man erhält die Lage dieser Kämpferlinie in Fig. 1 durch einfache Übertragung als eine parallel zur Scheitellinie 5,5 verlaufende Erzeugende 3,3. Überträgt man diese sowie die Scheitellinie 5,5 und eine dazwischen liegende Erzeugende 4,4 aus Fig. 1 in die Fig. 3 und Fig. 2, so ergeben sich die Schnittpunkte 3, 4 und 5. Ihre folgerichtige Verbindung liefert die Projektionen der Linie, an welcher der Rücken der Stichkappe an den Kranz anstößt.

Berücksichtigt man weiter, dass gemäß der mit $m\ 8$ in Fig. 3 beschriebenen Kreisbogenlinie die Kämpferlinien der für den Kranz angenommenen Zylinderfläche auf der Höhe des Punktes 6 liegen, und überträgt man diesen Punkt nach Fig. 1, so stellt die parallel zur Scheitellinie gezogene Linie 6,6 die Projektion der Kämpferlinie dar. Durch Übertragung der Erzeugenden 8,8, 7,7 und 6,6 in die Fig. 3 und Fig. 2 entstehen die Projektionen 6, 7, 8 der Rückenlinie des Kranzes, die in der oberen Laibung des Tonnengewölbes liegt.

Um nun die in der inneren Laibung des Tonnengewölbes liegende Rückenlinie des Kranzbogens zu ermitteln, muss man bedenken, dass die Lagerfugen des Kranzes vom Gewölberücken zum Mittelpunkt $M$ des Tonnengewölbes und zum Mittelpunkt $m$ der für den Kranz angenommenen Zylinderfläche verlaufen müssen. Damit ist die Richtung der Kämpferfugen in Fig. 3 durch die Linie $m-6$ und in Fig. 1 durch die Linie $M-6$ bestimmt. Eine gedachte Erzeugende durch den in der inneren Laibung liegenden Punkt 9 der Kämpferfuge stellt sich in Fig. 1 als die Linie 9,9 dar. Dem Endpunkt 9 dieser Erzeugenden, der in der lotrechten Hilfsebene $L-L$ liegt, entspricht dann der in Fig. 3 in der Kämpferfuge liegende Punkt 9. Folglich projiziert sich die Kämpferfugenfläche in Fig. 3 und Fig. 2 als die Figur 0,9—9,6—6,3—3,0. Eine in der Richtung $10-m$ angenommene Lagerfugenfläche stellt sich aus denselben Gründen in Fig. 3 und 2 durch die Projektionen 12,10—10,10—10,11—11,12 dar, während die Projektionen des Scheitelpunktes 13 auf die Projektionen der Zylinderachse fallen müssen. Durch das Verbinden der Punkte 9, 10 und 13 miteinander entsteht die Rückenlinie des inneren Kranzbogens. Diese lässt sich nun, ebenso wie die innere Durchdringungslinie, problemlos in den in Fig. 4 dargestellten Längsschnitt $A-B$ übertragen.

In der isometrischen Darstellung in Fig. 5 ist zur besseren Übersicht die Aufmauerung, die als Widerlager der Stichkappe dient, auf einer Seite weggelassen.

Durch den Einbau von Stichkappen lässt sich die für größere Tonnengewölbe erforderliche massive Widerlager-Masse erheblich verringern, indem man die Widerlager in einzelne kräftige Pfeiler mit dazwischenliegenden Nischen auflöst. Ein Beispiel für eine solche Anordnung ist auf Tafel 7 dargestellt.

Das eigentliche Widerlager des Hauptgewölbes bilden die nur 38 cm breiten Pfeiler, die um 1,04 m vor die Längswände des Raumes hervortreten. Die Nischen, die seitlich von diesen Pfeilern und den Quermauern begrenzt werden, sind mit geraden Stichkappen überdeckt, die an den im Hauptgewölbe liegenden Gewölbekränzen anliegen.

Die unteren Durchdringungslinien der Stichkappen mit dem Hauptgewölbe sind im Grundriss als gerade Linien angenommen. Dadurch ist die Wölblinie der Stichkappen von der Wölblinie des Hauptgewölbes abhängig. Man ermittelt sie einfach, indem man waagerechte Erzeugende beispielsweise in den Höhenlagen 1, 2, 3 und 4 annimmt, die auf gleicher Höhe in der Durchdringungslinie zusammentreffen müssen. Durch das Übertragen der Höhenlote $ab$, $cd$, $ef$, $gh$ nach $\text{a}_1 \text{b}_1$, $\text{c}_1 \text{d}_1$, $\text{e}_1 \text{f}_1$, $\text{g}_1 \text{h}_1$ und das Verbinden der Endpunkte $\text{b}_1$, $\text{d}_1$, $\text{f}_1$ und $\text{h}_1$ mit einer stetig gekrümmten Linie wird die Wölblinie bestimmt.

Sollen die Kämpferlinien der Stichkappen höher liegen als die des Hauptgewölbes und gleichzeitig die Durchdringungslinien der aufeinander treffenden Laibungsflächen im Grundriss gerade Linien sein, so werden die Richtung dieser Linien und die Lage ihrer Anfangspunkte 1 (Fig. 430 bis 432) durch die Wölblinie des Hauptgewölbes und die angenommene Pfeilhöhe 4—4 der Stichkappe bestimmt. Die Form der Wölblinie der Stichkappen ergibt sich dann durch die folgerichtige Übertragung der frei wählbaren Höhenlote 2—2, 3—3 und 4—4 aus dem Querschnitt in den Grundriss.

b Preußische Kappengewölbe

Die Wölblinie der Kappengewölbe ist ein flacher Kreisbogen, dessen Pfeilhöhe $1/7$ bis $1/12$ der Spannweite beträgt. Ihre Laibungsfläche bildet einen Teil der halben Oberfläche eines geraden Kreiszylinders.

Im Hochbau werden meist Wölblinien verwendet, die als Kreisbögen mit einem Radius gleich der Spannweite des auszuführenden Gewölbes beschrieben werden. Das Pfeilverhältnis solcher Wölblinien beträgt annähernd $1/8$.

Gutes Wölbmaterial und normale mittlere Belastungen vorausgesetzt (wie sie durch Schüttung, Fußboden und Verkehrslast in Wohngebäuden entstehen), wählt man die Gewölbestärke wie folgt: bei Spannweiten bis zu 2,5 m gleich $1/2$ Steinlänge; bis 3 m gleich $1/2$ Steinlänge mit 1 Stein hohen und $1\frac{1}{2}$ Stein breiten Verstärkungsgurten im Abstand von 1,5 bis 2 m; bis 4 m gleich $1/2$ Steinlänge im Scheitel und 1 Steinlänge am Widerlager, oder durchgehend 1 Steinlänge. Größere Spannweiten vermeidet man, indem man die Räume durch Gurtbögen (Tafel 8 und 9 rechte Seite sowie Tafel 10 und 11) oder Eisenträger (Tafel 8 und 9 linke Seite sowie Tafel 12 und 13) unterteilt, die als Widerlager für die Kappen dienen. Die Widerlagerstärke nimmt man bei gleichen Belastungsverhältnissen mit $1/4$ der Spannweite an, jedoch nicht unter $1\frac{1}{2}$ Steinlängen.

Die Gewölbestärke lässt sich auch nach den empirischen Formeln $S = \frac{Q \cdot\ l}{4 \cdot\ p \cdot\ k \cdot\ T} \quad \text{und} \quad\ S_1 = S \frac{l^2 + 4,p^2}{l^2 - 4,p^2}$ berechnen, in welchen:

• $S$ die Stärke im Scheitel in m,
• $S_1$ die Stärke am Widerlager in m,
• $Q$ die Belastung der ganzen Kappe in kg,

$l$ die Spannweite der Kappe in m,
$p$ die Pfeilhöhe der Kappe in m,
$k$ die zulässige Druckspannung der Wölbsteine pro $1\text{ cm}^2$ in kg (bei Ziegeln $7\text{ bis }10\text{ kg}$, bei Klinkern $14\text{ kg}$),
$T$ die Länge der Kappe rechtwinklig zur Stirnmauer in m
bedeuten.

Die Wölblinie der Gurtbögen wird zweckmäßigerweise als Parabel gewählt, deren Pfeilhöhe mindestens die Hälfte der Spannweite beträgt. Ebenso kommen im Hochbau Flachbögen, gedrückte oder überhöhte Korbbögen, Halbkreise und gedrückte oder überhöhte Ellipsen zum Einsatz.

Wird ein Flachbogen als Wölblinie gewählt, so ist die Pfeilhöhe mit $\frac{1}{3}$ bis $\frac{1}{4}$ der Spannweite anzusetzen, falls der Gurtbogen neben dem Stützen der Kappengewölbe auch als Tragebogen für Trennwände oberer Geschosse dienen soll. Entfällt diese Funktion, genügt eine Pfeilhöhe von $\frac{1}{6}$ der Spannweite. Die Widerlagerstärke ist im ersten Fall mit $\frac{1}{3}$, im zweiten Fall mit $\frac{1}{5}$ der Spannweite anzunehmen.

Die Breite und Höhe der Gurtbögen sollte mindestens $1\frac{1}{2}$, besser $2$ Steinlängen betragen. Eine geringere Breite ist deshalb ungeeignet, weil der Gurtbogen bei ungleicher Belastung der angrenzenden Kappen verdreht werden kann.

Die Einteilung der Gurtbögen ist möglichst so zu planen, dass sie auf die Mitte der Fensterpfeiler treffen (Fig. 433), um Stichkappen-Konstruktionen zu vermeiden. Zur Herstellung der Widerlager der Kappen am Gurtbogen wird dieser bereits beim Aufmauern mit einem Falz (Fig. 434) versehen, dessen Unterkante mindestens $8\text{ cm}$ über dem Scheitel des Gurtbogens liegt (vgl. auch Fig. 6 auf Tafel 10 und 11). Ein nachträgliches Ausstemmen der Widerlager ist wegen der Erschütterungen des Bogens nicht zulässig.

Soll die Stärke einer Gewölbekappe vom Scheitel zu den Widerlager-Mauern hin zunehmen, muss diese Zunahme kontinuierlich und nicht in abrupten Absätzen von $\frac{1}{4}$ oder $\frac{1}{2}$ Steinlängen erfolgen. Andernfalls kann es leicht zu Senkungen des mittleren Gewölbeteils kommen, was trotz guten Materials schon oft den Einsturz von Gewölben verursacht hat.

Bei Ausführungen in Ziegelsteinen lässt sich diese kontinuierliche Zunahme nur durch ein entsprechendes Beihauen der Steine am Gewölberücken erreichen. Wo keine zwingenden Gründe (wie beschränkte...

...Konstruktionshöhen) vorliegen, sollte man wegen des geringeren Arbeitsaufwands den Gewölbekappen vom Widerlager bis zum Scheitel eine gleichbleibende Stärke geben.

Um die Spannweiten der Kappen zu verringern, kann man die äußere Widerlagermauer durch nach innen vorspringende Pfeiler verstärken (vgl. Fig. 435 bis 437) und diese unterhalb des Gewölbewiderlagers durch Mauerbögen verbinden.

Werden anstelle von Gurtbögen Eisenträger als Widerlager für die Kappen verwendet, so erfolgt der Anschluss des Gewölbes an die Träger durch Rollschichten (Fig. 438), durch keilförmig zugehauene Steine (Fig. 439) oder durch eine Betonschicht (Fig. 440).

Die Träger dürfen niemals direkt auf das Ziegelmauerwerk aufgelegt werden. Sie müssen stattdessen gusseiserne Lagerplatten oder Auflagersteine aus festem Naturstein (Werkstein) als Unterlage erhalten, damit der Druck auf eine größere Fläche des Mauerwerks verteilt wird. Die Länge des aufliegenden Trägerendes sollte mindestens der Trägerhöhe entsprechen, besser dem Eineinhalbfachen der Trägerhöhe.

Beispiele für die Einwölbung mit Kappen zwischen Eisenträgern sind auf den Tafeln 8 und 9 sowie 12 und 13 dargestellt.

Die Einwölbung der Kappen kann wie folgt ausgeführt werden:

1. Auf Kuf.

Hierbei verlaufen die Lagerfugen parallel zu den Widerlagermauern, die im Verband wechselnden Stoßfugen parallel zu den Stirnmauern (vgl. Tafel 10 und 11, Fig. 1 bei A).

2. Auf Schwalbenschwanz.

Die Wölbung wird in den vier Ecken des zu überwölbenden Raumes so begonnen, dass die Lagerfugen in einem Winkel von $45^\circ$ zur Gewölbeachse verlaufen. Dadurch entstehen nebeneinander liegende Wölbstreifen, deren Breite der Ziegelstärke ($6,5\text{ cm}$) entspricht. Diese stützen sich sowohl an den Widerlagermauern als auch an den Stirnmauern und den Seitenflächen der benachbarten Wölbstreifen ab. Der Zusammenstoß der von den Ecken ausgehenden Schichten erfolgt schließlich in der Scheitellinie der Kappe und in der rechtwinklig zur Gewölbeachse verlaufenden Mittellinie des Raumes. Bei diesen...

...Zusammenstößen kann es bei regelmäßigem Verband leicht vorkommen, dass Stoßfugen direkt auf Lagerfugen treffen. Dies lässt sich nur vermeiden, indem man durch Beihauen einzelner Steine die Stoßfugen am Zusammenschluss so weit versetzt, dass dort ein Fugenwechsel um $\frac{1}{4}$ Steinlänge entsteht (vgl. die Fugen a bis i in Fig. 441).

Da bei dieser Wölbungsart ein Teil des Gewölbeschubs auf die Stirnmauern übertragen wird, ist sie besonders bei weit gespannten Kappen zwischen schwachen Mauern sowie zwischen Gurtbögen oder Eisenträgern zu empfehlen. Ein weiterer Vorteil ist, dass dieses Gewölbe „aus freier Hand“ (also ohne Schalung) mithilfe von Lehrbögen an den Wänden und entlang der winkelhalbierenden Linien (bzw. Diagonalen) der Raumecken gemauert werden kann und keine durchgehende Bruchfuge entsteht.

Da die einzelnen Wölbschichten entweder senkrecht zu den Diagonalbogenlinien oder senkrecht zu jenen Bogenlinien stehen, die durch den Schnitt lotrechter, winkelhalbierender Ebenen mit dem Gewölbe entstehen, erscheinen die Lagerfugen im Grund- und Aufriss nicht als gerade Linien (wie in der schematischen Darstellung in Fig. 441 angenommen), sondern als Projektionen geneigter Ellipsenabschnitte, also als gekrümmte Linien.

Die Ermittlung dieser Fugenprojektionen ist auf Tafel 10 und 11 in Fig. 1 im Grundriss und in Fig. 5 im Aufriss dargestellt. Die diagonale, elliptische Bogenlinie $ac^1$ wird am einfachsten aus der Stirnlinie $ab$ durch grafische Projektion (Vergatterung) bestimmt und kann ohne nennenswerten Fehler durch einen Kreisbogen ersetzt werden. Die Lagerfugenebenen müssen senkrecht auf dieser Bogenlinie stehen, also auf deren Mittelpunkt ausgerichtet sein. Da die Lagerfugen des Gewölbeteils $abcd$ entweder durch die Widerlagerlinie $ad$ und die Stirnlinie $ab$, oder durch die Widerlagerlinie $ad$ und die Scheitellinie $bc$, oder schließlich durch die Scheitellinie $bc$ und die rechtwinklig zur Gewölbeachse verlaufende Mittellinie $dc$ des Raumes...

...begrenzt werden, wurden diese Linien alle auf die Ebene des in den Grundriss umgeklappten Diagonalschnitts projiziert. So wird beispielsweise eine durch den Punkt 1 des Diagonalbogens verlaufende Lagerfuge von der Stirnlinie $ab$ und der Widerlagerlinie $ad$ begrenzt, eine Fuge an Stelle 4 des Diagonalbogens hingegen von der Scheitellinie $bc$ und der Widerlagerlinie $ad$. Durch die folgerichtige Projektion der Punkte 1, 2, 3 bzw. 4, 5, 6 aus dem Diagonalschnitt in den Grundriss erhält man die Punkte (1), (2), (3) und (4), (5), (6) der Horizontalprojektion dieser Lagerfugen. Nimmt man nun einige waagerechte Mantellinien I an, lassen sich beliebig viele weitere Punkte der Lagerfugen ermitteln, indem man die Schnittpunkte dieser Mantellinien mit den Lagerfugenebenen aus dem Diagonalschnitt in den Grundriss überträgt. Die Übertragung der elliptischen Lagerfugenkanten aus dem Grundriss in den Aufriss (Fig. 5) ist einfach, wenn man im Aufriss die Projektionen des Diagonalbogens und der Mantellinien als Hilfslinien einträgt.

Da bei diesem Verband alle Umfassungsmauern den Gewölbeschub aufnehmen müssen, ist auch an den Stirnmauern ein Widerlagerfalz für die dort ansetzenden Wölbstreifen vorzusehen.

Eine andere Variante der Schwalbenschwanz-Einwölbung, die sich besonders für Sichtmauerwerk (ohne Innenputz) eignet, zeigt Fig. 442. Hierbei werden zuerst in der Mitte des Gewölbes auf der Schalung vier ganze Steine (1) rechtwinklig zueinander und im Winkel von $45^\circ$ zur Gewölbeachse eingepasst. Danach fügt man nach allen Seiten hin abwechselnd einen ganzen Stein (2) und einen Dreiviertelstein (3) wie dargestellt an, bis die Umfassungsmauern erreicht sind. Die Diagonalschichten werden anschließend mit ganzen Steinen geschlossen, wobei man bei den Steinen 2 und 3 beginnt und die Schichten zu den Umfassungsmauern hin fertigstellt.

3. In Ringschichten.

Hierbei verlaufen die Stoßfugen parallel zu den Stirnmauern, während die Lagerfugen im Verband abwechseln. Die einzelnen Schichten werden als Rollschichten ausgeführt, sodass das Gewölbe aus vielen voneinander unabhängigen Bogenringen besteht,

Opderbecke, Der Maurer. 10 deren Breite der Ziegelstärke entspricht. Das Wölben beginnt an den Stirnmauern, sodass die Arbeit in Richtung der Gewölbeachse fortschreitet. Das Schließen des Gewölbes erfolgt in der rechtwinklig zu den Widerlagern verlaufenden Mittellinie des Raumes. Da jede Schicht einen stabilen Bogen für sich bildet, kann bei dieser Methode auf eine Schalung verzichtet werden; stattdessen verwendet man sogenannte „Rutschbögen“. Diese bestehen aus einem oben nach der Wölblinie geformten Kasten (vgl. Tafel 10 und 11, Fig. 4), der höchstens 80 cm breit sein darf, damit die Maurer bequem dessen hintere Kante erreichen können. Gestützt wird der Kasten durch zwei an den Widerlagermauern oder Eisenträgern befestigte Längshölzer, auf denen Doppelkeile liegen. Diese ermöglichen ein einfaches Vorrücken des Rutschbogens, sobald ein Gewölbeabschnitt fertiggestellt ist. Damit die Schichten bei unvorsichtigem Verschieben des Rutschbogens nicht nach vorne umkippen, legt man sie zweckmäßigerweise in leicht geneigten Ebenen an. Um diese Neigung nahe der Stirnmauer zu erzeugen, werden am besten Kufschichten gemauert (vgl. Fig. 1 bei C auf Tafel 10 und 11). Kufschichten werden ebenfalls verwendet, um die Ringschichten an der Schlussstelle des Gewölbes gegeneinander zu verspannen.

Um den Seitenschub (Horizontalschub) der Kappen zu minimieren, empfiehlt Moller eine Wölbung in Ringschichten, bei der die einzelnen Schichten bis zu ihrer Scheitelhöhe mit der Hintermauerung im Verband stehen, sodass die Gewölbeoberseite eine ebene, waagerechte Fläche bildet.

Die einzelnen Schichten sind dabei abwechselnd Strecker- und Läuferschichten (Fig. 443 und 444). Die Hintermauerung der Läuferschichten wird aus hochkant gestellten Steinen in waagerechten Schichten hergestellt. Da sich die Breitseiten der Steine benachbarter Schichten berühren und zudem durch Mörtel verbunden sind, ist die Haftfestigkeit (Adhäsion) größer als das Steingewicht. Daher kann eine Streckerschicht, die zwischen zwei Läuferschichten liegt, nicht nach unten herausrutschen. Ein solches Gewölbe wirkt somit wie eine Platte, die nur senkrechten Druck auf die Widerlagermauern ausübt. Dies erklärt, warum nur $1/2$ Stein starke Gewölbe mit einer Spannweite von 3 m und einer Pfeilhöhe von 0,4 m, die Moller über nur 1 Stein starken Widerlagermauern ausführte, die erforderliche Tragfähigkeit besitzen. Da die Hintermauerung in die Widerlagermauern hineinreichen muss, so ist diese Wölbungsart nur dort anzuwenden, wo die Widerlager nicht über den Gewölberücken hinaus hochgeführt werden sollen. Diese Methode wird gemeinhin als Mollersche Wölbungsart bezeichnet.

Die Rüstungen (Schalungen), auf denen die Kufmauerung und die von der Gewölbemitte ausgehende Schwalbenschwanzwölbung gemauert werden, bestehen aus Wölbscheiben. Diese werden aus 30 bis 40 mm starken Bohlen gefertigt und im Abstand von 1,0 bis 1,3 m auf Bockgerüsten mittels Holzkeilen gelagert oder bei Wölbungen zwischen Eisenträgern direkt an diesen aufgehängt. Da sich Form und Konstruktion der Lehrbögen für Gewölbe nicht von denen für Mauerbögen unterscheiden, wird auf die Ausführungen dazu auf den Seiten 56 bis 60 verwiesen. Werden Gerüste zur Unterstützung der Lehrbögen verwendet, müssen diese gut abgestützt (abgespreizt) werden, um ihre lotrechte Lage während der Maurerarbeiten und bis zum Ausschalen (Ausrüsten) zu sichern. Bei größeren Spannweiten empfiehlt es sich zudem, die einzelnen Lehrbögen gegeneinander auszusteifen. Ein Beispiel für die Aufstellung der Wölbscheiben, deren Keillagerung auf dem Lehrgerüst und die zugehörigen Absteifungen zeigen die Figuren 1, 2 und 3 auf den Tafeln 10 und 11 in Grundrissen und Schnitten.

Spiegelgewölbe

Denkt man sich ein Tonnengewölbe über einem quadratischen Raum durch zwei lotrechte Diagonalschnitte in vier Teile zerlegt, so sind jeweils zwei gegenüberliegende Teile formgleich. Die beiden an den Widerlagern liegenden, in Fig. 445 und 446 mit A bezeichneten Teile werden Walme oder Wangen genannt; die an den Stirnmauern liegenden, mit B bezeichneten Teile heißen Kappen.

Erstere besitzen eine waagerechte Widerlagerlinie und einen Scheitelpunkt, Letztere eine Scheitellinie und zwei Widerlagerpunkte. Setzt man drei

oder mehr Wangen an den durch die Diagonalebenen entstandenen Schnittflächen zusammen, entsteht ein Klostergewölbe . Die Anzahl der zusammengefügten Walmflächen entspricht der Seitenzahl des Grundrisses, sodass dieser ein Dreieck, Quadrat, Rechteck oder ein regelmäßiges beziehungsweise unregelmäßiges Vieleck sein kann.

Die Schnittlinien der Walmflächen sind ebene Kurven, die sich im Grundriss als gerade Linien darstellen, die von den Ecken der Grundform zum Schwerpunkt verlaufen. Man bezeichnet sie als Kehllinien, da das Aufeinandertreffen der Walmflächen an der Gewölbeunterseite wie eine Kehle wirkt.

Die Leitlinie der Walmflächen ist meist ein Viertelkreis, kann aber ebenso gut ein Flachbogen, Spitzbogen, elliptischer Bogen, Parabelbogen usw. sein. Der tiefste Punkt der Leitlinie liegt in der Kämpferebene des Gewölbes, während ihr höchster Punkt mit dem Scheitelpunkt des Gewölbes zusammenfällt.

Ist der Grundriss ein ungleichseitiges Dreieck, ein Rechteck oder ein unregelmäßiges Vieleck, muss zuerst die Leitlinie für eine Wangenfläche festgelegt werden. Von dieser hängen dann sowohl die Leitlinien als auch sämtliche Schnittlinien aller übrigen Walmflächen ab.

Zur Veranschaulichung dient der in Fig. 447 dargestellte unregelmäßige, fünfeckige Raum $a-b-c-d-e$, der mit einem Klostergewölbe überspannt werden soll. Der Scheitelpunkt liegt lotrecht über dem Schwerpunkt $s$ des Grundrisses. Die Kehllinien stellen sich im Grundriss als gerade Linien dar, die von $s$ zu den Ecken des Raumes verlaufen, während die Horizontalprojektionen der Leitlinien für die Wangen auf den Verbindungslinien zwischen dem Schwerpunkt $s$ und den Mittelpunkten 1, 2, 3, 4, 5 der Wandseiten liegen.

Nimmt man nun die Leitlinie für eine beliebige Wange an (hier ein Halbkreis für die Wange $a-b-s$) und bedenkt, dass die Kämpferlinien $ab$, $bc$, $cd$, $de$ und $ea$ in einer horizontalen Ebene liegen und alle horizontalen Schnitte durch das Gewölbe die Wangen parallel zu den Kämpferlinien treffen, so ergibt sich die Form der Kehllinie $b-s$, indem man die Lote

$$ \begin{aligned} f_2 f_3 &= f f_1 \ g_2 g_3 &= g g_1 \ h_2 h_3 &= h h_1 \ s s_3 &= s s_1 \end{aligned} $$ errichtet und die Punkte $b$, $f_3$, $g_3$, $h_3$ und $s_3$ durch eine stetig gekrümmte Kurve miteinander verbindet. Aus dem gleichen Grund müssen die Lote der Leitlinie $s-2$ dieselbe Länge aufweisen wie die entsprechenden Lote der Leitlinie $s-1$, also $$ \begin{aligned} f_4 f_5 &= f f_1 \ g_4 g_5 &= g g_1 \quad \text{usw. sein.} \end{aligned} $$

Die Ermittlung der übrigen Kehl- und Leitlinien erfolgt in gleicher Weise.

Genauso wie die Form eines Klostergewölbes durch eine angenommene Leitlinie bestimmt wird, kann sie auch durch die Vorgabe einer Kehllinie für die übrigen Kehllinien und die Leitlinien der Wangen hergeleitet werden.

Da die Walmflächen an den Außenseiten des Grundrisses ansetzen und jede von ihnen als Teil eines Tonnengewölbes betrachtet werden kann, fungieren alle Umfassungsmauern des Raumes als Widerlagermauern.

In den Fig. 448 bis 450 ist ein Klostergewölbe über einem quadratischen Raum im Grundriss und in zwei Schnitten dargestellt, dessen Leitlinie als Halbkreis gewählt wurde. Da die Kämpferlinien unter dem Geländeniveau liegen, ist eine Belichtung des Raumes durch Fenster nur mithilfe von Stichkappen möglich. Der Vertikalschnitt $C-D$ (Fig. 450) zeigt, wie die Aufmauerung über dem Hauptgewölbe beschaffen sein muss, um die Widerlager für die Stichkappen zu bilden. Das Mauern solcher Gewölbe erfolgt meist auf Kuf. Dabei ist darauf zu achten, dass die Steine in den Kehllinien abwechselnd von die eine in die andere Wange übergreifen. Dazu werden die Kehlsteine der einen Wange so behauen, dass sie sich an die Lagerfuge des auf gleicher Höhe liegenden Kehlsteines der anderen Wange anschmiegen (vgl. Fig. 252), wobei an der Laibungsfläche kleine Zwickel offenbleiben.

Anschließend behaut man den nächsten Kehlstein der zweiten Wange so, dass er an die um eine Schicht tiefer liegende Lagerfuge der ersten Wange anschließt (vgl. Fig. 453), wobei der Kehlstein mit einer Ecke ($a-b-c$) über den Rücken der ersten Wange vorsteht.

Die an den Kehlen der Laibungsflächen fehlenden, kleinen pyramidenförmigen Lücken (Zwickel) werden beim Verputzen des Gewölbes mit Mörtel ausgefüllt. Bleibt das Gewölbe unverputzt (Sichtmauerwerk), müssen speziell geformte Kehlsteine (Fig. 454 und 455) verwendet werden. Deren Herstellung ist jedoch aufwendig, da fast jeder Stein eine individuelle Form erfordert.

Das Wölben auf Kuf erfordert ein Lehrgerüst mit vollständiger Einschalung. Die Lehrbögen werden jedoch anders aufgestellt als beim Tonnengewölbe . Bei einer regelmäßigen Grundrissform wird ein Diagonalbogen als ganzer, eigenständiger Lehrbogen errichtet, während die übrigen Diagonalbögen aus zwei Hälften zusammengesetzt werden. Der Kreuzungspunkt der Diagonalbögen ist durch einen kräftigen Pfosten, den sogenannten Mönch oder Mäkler , abzustützen. Je nach Spannweite des Gewölbes stellt man weitere Zwischenbögen $a$ rechtwinklig zu den Umfassungswänden auf, entweder nach Fig. 456, Fig. 457 oder Fig. 458. Deren Anzahl wird so gewählt, dass die freie Spannweite der 25 bis 40 mm starken Schalbretter nicht mehr als 1,0 bis 1,5 m beträgt. Die Lagerung aller Lehrbögen an den Enden ihrer Schwellen erfolgt wie beim Tonnengewölbe auf Doppelkeilen, die auf pfostengestützten Längsschwellen aufliegen.

Klostergewölbe mit segmentbogenförmigem Querschnitt werden in der Regel im Schwalbenschwanzverband gemauert. Bei Gewölben mit halbkreisförmigem oder spitzbogigem Querschnitt ist diese Methode weniger geeignet, da die Schichten an den Gewölbeschenkeln stark keilförmig ausfallen. Hier empfiehlt es sich, eigenständige Diagonalgurte von 1 bis $1\frac{1}{2}$ Stein Breite und Höhe einzuziehen, gegen welche die Gewölbewangen stumpf anstoßen.

In den Fig. 459 bis 462 ist das Aufmauern eines halbkreisförmigen Klostergewölbes im Schwalbenschwanzverband zwischen Diagonalgurten von $1\frac{1}{2}$ Stein Breite dargestellt.

Zur Bestimmung der Lagerfugenkanten der Gewölbewange zeigt Fig. 460 einen Schnitt in Richtung der Kehllinie. Diese ergibt sich durch Projektion aus dem als Viertelkreis angenommenen Gewölbeprofil und stellt eine Viertelellipse dar, deren große Halbachse der halben Diagonalen $a-s$ und deren kleine Halbachse dem Radius $s-h$ des Gewölbeprofils entspricht. Die Lagerfugenebenen des Diagonalgurts und der Gewölbewangen zeigen sich in Fig. 460 als gerade Linien, die senkrecht auf der Ellipsenkrümmung stehen. Um diese Lagerfugen zu ermitteln, schlägt man mit der halben großen Achse $a-s$ einen Kreisbogen um den Endpunkt $h$ der kleinen Achse, der die große Achse in den Brennpunkten $B$ und $B_1$ schneidet. Beginnend bei $a$ trägt man auf der Kehllinie die Schichtbreiten (ca. 8 cm) auf, verbindet diese Punkte mit den Brennpunkten und halbiere die durch diese Strahlen gebildeten Winkel. Diese Winkelhalbierenden bestimmen die Richtung der Lagerfugenebenen. Da die Lagerfugen der Gewölbewangen zwischen

der Kehllinie und den Widerlagerlinien $ab$ und $bc$ beziehungsweise der Mittellinie $bs$ verlaufen müssen, wurde die Projektion der letzteren Linie in Fig. 460 ebenfalls dargestellt.

Eine beliebige Normalebene $M$ ergibt somit eine Lagerfugenkante, die in Fig. 460 vom Kehllinienpunkt $d$ bis zum Mittellinienpunkt $e$ reicht. Die Horizontalprojektion der Endpunkte dieser Fugenkante ergibt sich in $\text{d}_1$ und $\text{e}_1$ bzw. $\text{e}_2$.

Um weitere Punkte zu bestimmen, legt man gedanklich waagerechte Ebenen I, II usw. zwischen $d$ und $e$. Diese schneiden die Strecke $de$ in den Punkten $f, g...$ und die Gewölbewangen in waagerechten Linien, deren Horizontalprojektionen den Kämpferlinien parallele Linien $A, A_1...$ sind. Durch einfache Projektion der Punkte $f, g...$ aus Fig. 460 nach Fig. 459 erhält man im Grundriss in $\text{f}_1$und$\text{g}_1...$sowie$\text{f}_2$und$\text{g}_2...$ weitere Punkte der Lagerfugenkante.

Die wahre Form dieser Lagerfugenkante erhält man durch einfaches Umklappen um eine Achse $J-J$ in Fig. 462, wobei $$ \begin{aligned} \text{i}_0\ \text{e}_0 &= \text{i}\ \text{e}\text{ in Fig. 460} \ \text{i}_0\ \text{g}_0 &= \text{i}\ \text{g}\ \text{ ” ” ”} \ \text{i}_0\ \text{f}_0 &= \text{i}\ \text{f}\ \text{ ” ” ”} \ \text{i}_0\ \text{d}_0 &= \text{i}\ \text{d}\ \text{ ” ” ”} \end{aligned} $$ sein muss.

Trägt man nun in Richtung von $\text{i}_0\ \text{d}_0$ die Strecke $\text{d}_0\ \text{M}_0 = \text{d}\ \text{M}_1$ auf, errichtet in $\text{M}_0$ eine Senkrechte zu $\text{M}_0\ \text{d}_0$, trägt darauf die halbe Bogenbreite nach beiden Seiten von $\text{M}_0$ aus ab und zieht durch die Endpunkte $\text{l}_0$ und $\text{m}_0$ Parallelen zu $\text{M}_0\ \text{d}_0$, so erhält man die Anschlusspunkte $\text{n}_0$ der Wangen-Rückenlinien an den Gurtbogen. Dies geschieht, indem man die Stärke der Gewölbewangen (hier 1 Stein) senkrecht zu den inneren Fugenkanten $\text{e}_0\ \text{d}_0$ anträgt

und die Rückenlinie $\text{p}_0\ \text{n}_0$ parallel zur Innenkante einzeichnet. Überträgt man nun beliebige Punkte der Rückenlinie, wie z. B. $\text{n}_0$ und $\text{p}_0$, nach $n$ und $p$ der Lagerfugenebene $i-M$ in Fig. 460, erhält man durch einfache Projektion wieder die Rückenlinie im Grundriss. Nachdem die Stoßfugen in Fig. 462 eingezeichnet sind, können sie problemlos in den Grundriss übertragen werden. Eine zweite Schicht des Gurtbogens und der Gewölbewangen ist in Fig. 461 dargestellt.

Das Bestreben, in den Umfassungsmauern eines mit einem Klostergewölbe überspannten Raumes über die Kämpferlinie hinausreichende Fenster- oder Türöffnungen einzubauen, ohne Stichkappen verwenden zu müssen, führte zur Entwicklung von Klostergewölben, deren Laibungsflächen nicht wie üblich in waagerechten Kämpferlinien an den Umfassungsmauern ansetzen, sondern sie in Bogenlinien schneiden, deren tiefste Punkte auf Höhe der Kämpferebene liegen.

Diese Gewölbeformen kann man sich so entstanden vorstellen, dass in einen fiktiven, mit einem gewöhnlichen Klostergewölbe überdeckten Raum ein zweiter, kleinerer Raum eingebaut wird, dessen Ecken auf die Wandseiten des ersten Raumes treffen. Die Schnittlinien der Umfassungswände dieses eingebauten Raumes mit dem ursprünglichen Gewölbe bilden dann die Stirnlinien des neuen Gewölbes. Solche Gewölbe bezeichnet man als „offene“ oder „über Eck stehende Klostergewölbe“, manchmal auch als „Klostergewölbe mit Abstumpfungen“.

In Fig. 463 ist ein solches Gewölbe über einem dreieckigen Raum dargestellt. Das Dreieck $abc$ stellt den Grundriss des mit dem ursprünglichen Klostergewölbe überdeckten Raumes dar. Die Grundrissprojektion $s$ des Scheitelpunktes liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Ecken. Die Kehllinien $as$, $bs$ und $cs$ stehen senkrecht auf den Seiten des eingebauten Raumes $def$ und halbieren diese in den Punkten $g$, $h$ und $i$. Somit ist $s$ der Schwerpunkt des Raumes $def$.

Wählt man nun als Leitlinie der Wange $c-b-s$ über $e-s$ eine stetig gekrümmte Kurve (hier einen Viertelkreis), lassen sich mithilfe von Erzeugenden I, II usw. auf einfache, aus der Zeichnung ersichtliche Weise die Stirnlinien $d-h-e$, $e-i-f$ und $f-g-d$ sowie auch die Gratlinien $h-s$, $i-s$ und $g-s$ bestimmen. Dies geschieht mithilfe der Höhenlote 1—2, 3—4, 4—5 usw. der Leitlinie $e-s$.

Soll ein offenes Klostergewölbe über einem quadratischen Raum ausgeführt werden, verlaufen die Seiten dieses Raumes im Winkel von $45^\circ$ zu den Wänden des fiktiven, mit einem gewöhnlichen Klostergewölbe überspannten Raumes. Gleichzeitig verbinden sie die Mittelpunkte von dessen Wandseiten. In Fig. 464 sei $abcd$ der mit dem gewöhnlichen Klostergewölbe überdeckte Raum (mit einem Halbkreis über $eg$ als Leitlinie) und $efgh$ der tatsächlich mit dem offenen Klostergewölbe zu überwölbende Raum. Um

den Schnitt in Richtung $A-B$ darzustellen, muss man bedenken, dass alle horizontalen Schnitteebenen parallel zu den Kämpferlinien des Raumes $abcd$ das Gewölbe in waagerechten Linien schneiden müssen. Aus diesem Grund gilt:

$$ \begin{aligned} n\ o &= n_1\ o_1 \ q\ r &= q_1\ r_1 \ t\ u &= t_1\ u_1 \ w\ x &= w_1\ x_1 \end{aligned} $$ und $$ \begin{aligned} n\ p &= n_2\ p_2 \ q\ s &= q_2\ s_2 \ t\ v &= t_2\ v_2 \ w\ y &= w_2\ y \end{aligned} $$ sein muss.

Die Einwölbung eines derartigen Gewölbes geschieht am besten auf Kuf, wie in Fig. 464 angedeutet. Die Lehrbögen sind dann je nach der Spannweite entweder in der durch Fig. 466 oder 467 veranschaulichten Weise aufzustellen.

In den Figuren 468 und 469 ist ein Klostergewölbe über einem regelmäßigen achteckigen Raum dargestellt, dessen Leitlinie ein Spitzbogen ist. Solche Gewölbe werden als Haubengewölbe oder Walmkuppeln bezeichnet. Zur Überdeckung der hoch liegenden Lichtöffnungen werden Stichkappen verwendet, die weit in das Hauptgewölbe eindringen.

Die Figuren 470 und 471 zeigen die Konstruktion und die Verbindung dieser Stichkappen mit dem Hauptgewölbe im Quer- und Längsschnitt. Solche Stichkappen oder Lünetten können an allen Gewölbewangen angeordnet werden, selbst wenn für einzelne Wangen gar keine Öffnungen vorgesehen sind. Dadurch wird

ein viel freieres und leichteres Aussehen erzielt, als dies bei einem Klostergewölbe ohne Stichkappen der Fall ist.

In besonderen Fällen lassen sich auch abgestumpfte Wangen vorteilhaft mit den Wölbflächen nicht abgestumpfter Wangen verbinden. Die Figuren 472 bis 478 zeigen eine solche Anordnung für einen rechteckigen Raum.

Zieht man durch den Schwerpunkt $s$ der Grundfigur symmetrisch zu den Mittellinien $a\ c$ und $b\ d$ gerade Linien $m\ h$, $e\ i$, $f\ k$ und $g\ l$, so können diese als Grundrissprojektionen der Kehllinien des geplanten Gewölbes angesehen werden. Betrachtet man nun die Gewölbeteile, die an den

Ecken des Raumes liegen – also $n\ m\ s\ l$, $e\ o\ f\ s$, $g\ p\ h\ s$ und $i\ q\ k\ s$ – als abgestumpfte Klostergewölbe und die übrigen Teile $m\ e\ s$, $f\ g\ s$, $h\ i\ s$ und $k\ l\ s$ als gewöhnliche Gewölbewangen mit waagerechten Kämpferlinien, so ist die Form des Gewölbes durch folgende Annahmen bestimmt: Als Leitlinie für die abgestumpften Klostergewölbe wird eine stetig gekrümmte Linie (hier ein Halbkreis) angenommen,

deren Grundrissprojektion mit den Diagonalen des Raumes zusammenfällt; zudem wird vorausgesetzt, dass alle parallel zu den Linien $e\ f$, $g\ h$, $i\ k$ und $l\ m$ geführten Schnittebenen die abgestumpften Wangen in waagerechten Linien schneiden. Beispielsweise muss dann in Fig. 473

$\begin{aligned} r_1\ t_1 &= r\ t \quad \text{in Fig. 472} \ u_1\ v_1 &= u\ v \quad \text{in Fig. 472} \ u_1\ x_1 &= w\ x \quad \text{in Fig. 472} \end{aligned}$ sein. Die Darstellung der in den Figuren 474 bis 476 gezeigten weiteren Gewölbeschnitte bereitet danach keine Schwierigkeiten mehr.

Sind die Umfassungsmauern des zu überwölbenden Raumes bei bedeutender Höhe nur gering bemessen, kann man sie durch Eisenanker versteifen, die in Richtung der in Fig. 472 punktiert dargestellten Linien eingelegt werden. Die Richtung der Kehllinien wählt man dann zweckmäßig so, dass sie dort auf die Umfassungsmauern treffen, wo die Anker diese durchdringen. Die Anker kommen dadurch in den waagerechten Lagerfugen $e\ f$, $g\ h$, $i\ k$ und $l\ m$ (vgl. Fig. 476) zu liegen. Die Einwölbung dieser Gewölbe erfolgt am besten auf Kuf.

Stichkappen lassen sich auch dadurch vermeiden, dass man einzelne Gewölbeteile mit sphärischen Gewölbekappen überdeckt. Dabei werden sämtliche Gewölbeflächen von Kehllinien abhängig gemacht, die als Kreisbogen gestaltet sind.

Als Beispiel für eine solche Gestaltung sei zunächst ein Gewölbe über einem regelmäßigen achtseitigen Raum gewählt, bei dem Gewölbewangen A (vgl. Fig. 479) mit Kugelkappen B abwechseln. Die Kehllinien sind hier als Viertelkreise angenommen, aus denen sich die Leitlinie $a\ s_1$ durch einfache Vergatterung als Viertelellipse ergibt. Setzt man voraus, dass der Mittelpunkt der Kugel, die die Gewölbeteile B bildet, mit dem Schwerpunkt $s$ der Grundrissfigur zusammenfällt, so deckt sich ein durch diesen Mittelpunkt geführter Schnitt in seiner Umklappung im Grundriss mit der als Viertelkreis angenommenen Kehllinie. Ebenso muss jeder andere durch den Mittelpunkt $s$ geführte Schnitt – also auch der Höhenschnitt C-D (Fig. 480) – einen Kreisbogen erzeugen, der den gleichen Halbmesser wie die Kehllinien besitzt. Die Stirnlinien der Kugelkappen erscheinen dann als Halbkreise, deren Durchmesser gleich der Längenausdehnung $b\ c$ der Stirnmauern ist. Denkt man sich an irgendeiner Stelle, z. B. bei I, lotrechte Ebenen, so schneiden diese die Wangen in waagerechten Linien, die Kugelkappen dagegen in Kreissegmenten, deren Mittelpunkte in der Kämpferebene liegen. Die Bestimmung der Projektionen der Kehllinien im Aufriss ist aus der Zeichnung selbst ersichtlich.

Ebenso wie eine einzelne Gewölbewange in ihrer Gesamtheit als Kugelkappe gestaltet werden kann, besteht auch die Möglichkeit, nur einen Teil davon als Kugelkappe auszuführen. In den Fig. 481 und 482 ist diese Lösung für ein Gewölbe über einem quadratischen Raum dargestellt.

Die Schnittlinien der Kugelkappen mit den Wangen des Klostergewölbes, die symmetrisch zu den Mittellinien $a\ b$ und $c\ d$ liegen, sind im Grundriss die Linien $e\ s$, $f\ s$, $g\ s$ usw. Als wirkliche Gestalt dieser Linien sei der im Grundriss über $e\ s$ gezeichnete Viertelkreis gewählt, aus dem sich die Kehllinie $n\ s_1$ durch einfache Vergatterung bestimmt. Die Scheitellinie der Kugelkappen muss sich dann aus dem gleichen Grund wie im vorherigen Beispiel als Kreisbogenlinie ergeben, deren Halbmesser dem der Schnittlinien $e\ s$ usw. entspricht. Ebenso müssen auch die Stirnlinien wieder Halbkreise sein, deren Durchmesser gleich der Länge der Linien $e\ f$, $g\ h$ usw. ist.

Die Widerlagsstärke eines Klostergewölbes kann mit etwa $3/4$ der Stärke des Widerlagers eines Tonnengewölbes mit gleicher Leitlinie, Gewölbestärke und Belastung angenommen werden. Dieses Ergebnis wurde von Rondelet durch zahlreiche Versuche an Modellen festgestellt. Da die Gewölbewangen aufgrund ihrer unterschiedlich großen Spannweiten – die an den Kämpferpunkten der Kehllinien gleich Null sind und von dort zu den Mitten der Widerlagsmauern stetig zunehmen – variieren, müsste die Widerlagsstärke in jedem Punkt der Umfassungsmauern streng genommen ein anderes Maß aufweisen. Die äußeren Begrenzungslinien der Widerlagsmauern müssten deshalb eigentlich als gekrümmte Linien erscheinen.

Für die praktische Ausführung eignet sich ein so geformter Widerlagskörper jedoch nicht. Man wählt stattdessen einen Mauerkörper mit rechteckigem Querschnitt, dessen Stärke – wie oben angegeben – $3/4$ der für ein Tonnengewölbe erforderlichen Widerlagsstärke beträgt.

Die Gewölbestärke könnte ebenfalls von den Kämpferpunkten der Kehllinien zum Gewölbescheitel hin stetig zunehmen. Dieser Anordnung stehen jedoch dieselben praktischen Bedenken entgegen wie einer ungleich großen Widerlagsstärke. Daher gibt man den Wangen durchgehend die gleiche Stärke wie bei Tonnengewölben mit gleicher Leitlinie und Belastung.

Fügt man bei einem Tonnengewölbe über einem langgestreckten Raum an den Schmalseiten Gewölbewangen ein, deren Leitlinie ebenso geformt ist wie die des Tonnengewölbes, so entsteht ein

Muldengewölbe.

Die Anfallspunkte der Kehllinien der Stirnwalme sind dann stets die Endpunkte der Scheitellinie des Tonnengewölbes – ganz gleich, ob die Stirnseiten rechtwinklig oder schiefwinklig zu den Längsseiten des zu überwölbenden Raumes stehen. Die waagerechten Projektionen der Kehllinien fallen mit den Winkelhalbierenden an den Ecken des Raumes zusammen (vgl. Fig. 483).

Hinsichtlich der Konstruktion der Kehllinien, dem Einfügen von Stichkappen , der Rüstung und Einwölbung sowie der Gewölbe- und Widerlagsstärke gilt genau dasselbe, was bereits beim einfachen Klostergewölbe und beim Tonnengewölbe ausgeführt wurde.

Die Figuren 484 und 485 zeigen ein Muldengewölbe über einem rechteckigen Raum, in das von den Längsseiten ausgehende Stichkappen einschneiden.

Denkt man sich ein Klostergewölbe durch eine waagerechte Ebene geschnitten, die zwischen der Kämpferebene und dem Scheitelpunkt liegt, und ersetzt den oberen, abgeschnittenen Teil durch ein scheitrechtes Gewölbe, so entsteht ein

Spiegelgewölbe.

Dessen Gewölbeschub ist – selbst wenn eine zusätzliche Belastung des Spiegels vermieden wird – sehr bedeutend. Die Widerlagsmauern müssen daher entweder sehr stark bemessen oder kräftig verankert werden, etwa nach Fig. 486.

Soll das Gewölbe verputzt werden, kann man dessen unteren Teil auch vollständig durch waagerechtes Auskragen der Schichten nach Fig. 487 herstellen. Der Spiegel wird dann als flach gekrümmte Kappe zwischen die oberen Schichten der Auskragung eingespannt.

Größere Spiegelgewölbe über Treppenhäusern oder Sälen werden heute meist unter Verwendung eines eisernen Tragegerüstes ausgeführt, das den einzelnen Gewölbeteilen als Widerlager dient.

Ein Beispiel hierfür zeigen die Figuren 488 bis 490.

Parallel zu den Begrenzungslinien des Spiegels werden gewalzte I-Träger $a$ (bei sehr großen Spannweiten genietete Träger) von Umfassungsmauer zu Umfassungsmauer verlegt und an den Kreuzungsstellen durch Winkeleisen und Nietung verbunden. Eine Aufteilung des Spiegels in kleinere Felder wird durch Querträger $b$ erreicht, die mit den Längsträgern ebenfalls durch Winkeleisen und Nietung verbunden sind. Der Spiegel wird entweder durch flache Kappen oder besser durch Kleinesche Deckenplatten

mit Bandeiseneinlagen unter Verwendung von Schwemmsteinen geschlossen, da diese keinen Seitenschub ausüben.

Ein sehr leichtes und elegantes Aussehen erhalten Spiegelgewölbe , wenn die unteren Gewölbewangen in Lünetten und Walme aufgelöst werden. Durch eine entsprechende Bemalung der Gewölbeflächen lässt sich die Wirkung der Decke weiter steigern, sodass sie höchsten Ansprüchen genügt.

Im vorliegenden Fall sind Stichkappen gewählt, deren Durchdringungslinien mit den Gewölbewangen in der Grundrissprojektion gerade Linien bilden, die unter $45^\circ$ zu den Umfassungsmauern verlaufen. Die Leitlinie der Gewölbewangen ist als Spitzbogenlinie angenommen, deren Mittelpunkt in $m$ (Fig. 489) liegt, die Stirnlinie der Stichkappen dagegen als Halb-

kreis. Aus dieser Annahme folgt, dass die Durchdringungslinien elliptische Bogen sind, die sich aus den Höhenloten $d\ e = d_1 e_1$ $f\ g = f_1 g_1$ $h\ i = h_1 i_1$ ableiten, und dass die Scheitellinien der Stichkappen gekrümmte Linien sein müssen. Deren tatsächliche Gestalt wird durch Subtraktion der Höhenlote $k_1\ l_1$, $n_1\ o_1$ und $m_1\ p_1$der Stirnlinie der Stichkappen von den zugehörigen Loten$d\ e$, $f\ g$ und $h\ i$ der Durchdringungslinie ermittelt. Um in der Laibung der Stichkappe keinen Knick zu erhalten, empfiehlt es sich, die durch die Scheitellinie vorgegebene Richtung auch für die Wandnische beizubehalten, also die Scheitellinie $q\ r$ über $r$ hinaus bis $s$ fortzuführen. Dadurch erhalten natürlich auch die zur Scheitellinie parallelen Kämpferlinien dieselbe Richtung, wodurch der Mittelpunkt $m_1$ der Stirnlinien um das Stück $m_1\ m = r\ t$ tiefer liegt als die Kämpferpunkte der Durchdringungslinien.

Böhmische Kappengewölbe

Die Laibungsfläche eines Kuppelgewölbes kann man sich so entstanden denken, dass eine gesetzmäßig gebildete, ebene Kurve um eine in ihrer Ebene liegende, lotrechte Achse gedreht wird. Dabei wendet die Kurve während der Drehung der Achse ihre konkave Seite zu. Jeder Punkt der Kurve beschreibt während der Drehung einen Kreis, der in einer waagerechten Ebene liegt. Aus dem gleichen Grund muss auch der Grundriss der Laibungsfläche ein Kreis sein.

Ist die erzeugende Kurve ein Viertelkreis, entsteht eine Halbkugelfläche. Ein solches Gewölbe bezeichnet man als Kugelgewölbe. Da ein solches Gewölbe von unten gesehen jedoch wie ein gedrücktes Ellipsoid wirkt, verlängert man den erzeugenden Viertelkreis entweder lotrecht unter den Kämpferpunkt nach unten, oder man wählt eine überhöhte Ellipse oder einen Spitzbogen als Erzeugende.

Die Einwölbung erfolgt meist in Ringschichten. Die Lagerfugen bilden dabei einen Teil eines Kegelmantels. Dessen Spitze liegt bei einer halbkugelförmigen Kuppel im Mittelpunkt der Halbkugel, bei Kuppeln mit elliptischem oder spitzbogigem Querschnitt dagegen auf einem Punkt der lotrechten Achse – und zwar für jede Schicht auf einem anderen Punkt. Die Stoßfugenflächen liegen in lotrechten Meridianebenen, sodass jeder Wölbstein eine doppelt keilförmige Gestalt erhält.

Gehört die Laibung der Kuppel einer Kugelfläche an, benutzt man beim Wölben eine sogenannte Leier (vgl. Fig. 493). Diese besteht aus einer etwa 5 cm starken, runden Holzleiste von der Länge des Gewölbehalbmessers. Sie ist an ihrem unteren Ende genau im Mittelpunkt des Gewölbes mittels eines in jede Richtung drehbaren Gelenks auf dem Kopf eines gut verspreizten Bockgerüsts befestigt. Die im Inneren des Gewölbes stehenden Maurer schieben die Steine bis an die Spitze der Leier, um die innere Kugelfläche sowie die Richtung der Lager- und Stoßflächen der Wölbsteine exakt herzustellen.

Sind beim Einwölben mehrere Arbeiter beschäftigt, kann jeder von ihnen anstelle der Leier eine am Kugelgelenk des Bockgerüsts befestigte Schnur oder besser ein dünnes Drahtseil in der genauen Länge des Gewölbehalbmessers als Richtschnur für die Lager- und Stoßfugen verwenden. Bei Kuppelgewölben, deren erzeugender Mittelpunkt außerhalb der lotrechten Gewölbeachse liegt, wird anstelle der Leier oder Schnüre ein um die lotrechte Gewölbeachse drehbarer Lehrbogen benutzt.

Um die dem Scheitel des Gewölbes nahe liegenden Steine – deren Lagerflächen eine immer steilere, fast lotrechte Lage annehmen – vor dem Abrutschen aus dem Mörtelbett zu sichern, hält man sie mit einer Schnur fest. Diese wird um einen Nagel gewickelt, der in eine tiefer liegende Fuge des Gewölberückens eingetrieben ist, und durch einen am anderen Ende befestigten, in den Gewölberaum herabhängenden Ziegelstein gespannt. Da jede Schicht Teil eines Kegels mit einer zum Gewölbemittelpunkt ausgerichteten Spitze ist – also gewissermaßen ein nach unten verjüngter Keil –, kann kein Stein mehr abrutschen, sobald ein Ring vollständig geschlossen ist. Aus diesem Grund kann man mit dem Einwölben in jeder beliebigen Höhe pausieren. Diese Möglichkeit wird häufig genutzt, um eine Scheitelöffnung zur Belichtung des Raumes von oben freizulassen. Diese Öffnung wird durch einen gemauerten Kranz oder mit Werksteinen eingefasst. Häufig befindet sich über diesem Kranz ein zylindrischer Aufbau, eine sogenannte Laterne (vgl. A in Fig. 503), in deren Wandung Lichtöffnungen eingelassen sind. Dieser Aufbau kann wiederum durch eine kleine Kuppel oder auf andere Weise überdeckt werden.

Die Laibungsflächen der Kuppelgewölbe werden vielfach durch die bereits beim Tonnengewölbe erwähnten Kassetten gegliedert. In der Nähe des Gewölbescheitels, dem sogenannten Nabel oder Spiegel des Gewölbes, verzichtet man meist auf Kassetten, da sie dort zu klein ausfallen würden, und schmückt diesen Bereich stattdessen mit Stuck oder Bemalung.

Die Konstruktion der Kassetten und der sie trennenden Stege kann nach Fig. 491 und Fig. 492 wie folgt vorgenommen werden.

Auf dem Kreis $A\ A$, der der Oberkante $d$ des Kassettensockels entspricht, wird die Einteilung der unteren Kassettenreihe und der Kassettenstege vorgenommen. Die Meridianschnitte $m\ a$, $m\ b$, $m\ c$ usw. bestimmen dann die Richtung der Stege in der Grundrissprojektion. Zur Festlegung der Aufrisse der Kassetten und Stege auf der Laibungsfläche der Kuppel – deren Erzeugende hier als ein von $m_1$ aus beschriebener Kreisbogen angenommen ist – zeichnet man im Grundriss mit einem beliebigen Halbmesser $m\ e$ um $m$ den Kreisbogen $e\ f$ und verlängert die Strahlen $m\ a$, $m\ b$, $m\ c$ usw. bis zu ihrem Schnitt mit diesem Kreisbogen. Senkrechte Linien von diesen Schnittpunkten $g$, $h$, $i$ usw. auf die Strahlen ergeben in ihren Schnittpunkten $k$, $l$, $n$ usw. die Mittelpunkte von Kreisen, welche die Strahlen berühren, sowie in $k\ g$, $l\ h$ und $e\ i$ die Halbmesser $R$ und $r$ dieser Kreise. Danach wird in der Meridianebene $m_1\ o$ die Länge $m_1\ o = m\ e$ aufgetragen und in $o$ auf $m_1\ o$ das Lot $o\ p$ errichtet. Durch die Oberkante $d$ des Kassettensockels wird darauf der Strahl $m_1\ d$ gezogen und an einer beliebigen Stelle auf dessen Verlängerung ein Lot $q\ s = R$ errichtet. Zieht man durch den Endpunkt $s$ dieses Lotes die Parallele zu $m_1\ q$, so trifft diese die Linie $o\ p$ im Punkt $s_1$. Der um $s_1$ mit dem Radius $R$ beschriebene

Kreis ist dann maßgebend für die Höhe der ersten Kassettenreihe. Dabei muss $m_1\ q$ eine Tangente an diesen Kreis bilden, die zusammen mit einer zweiten, von $m_1$ an den Kreis gezogenen Tangente $m_1\ t$ auf der Erzeugenden die Höhe $d\ v$ der ersten Kassettenreihe bestimmt.

Die darauffolgende Steghöhe wird in gleicher Weise festgelegt, indem an einem beliebigen Punkt der Tangente $m_1\ t$ das Lot $t\ n = r$ errichtet und durch den Endpunkt $n$ dieses Lotes die Parallele zu $m_1\ t$ bis zum Schnittpunkt $n_1$ mit $o\ p$ gezogen wird. $n_1$ is dann der Mittelpunkt eines mit dem Radius $r$ zu zeichnenden Kreises. Eine von $m_1$ an diesen Kreis gezogene Tangente schneidet die gesuchte Steghöhe $v\ w$ auf der Erzeugenden der Kuppel ab.

Fährt man bei der Bestimmung aller folgenden Kassetten- und Steghöhen in gleicher Weise fort, erhält man nacheinander die weiteren Punkte $x$, $y$ und $z$ auf der Kuppelerzeugenden. Die Festlegung der Quer- und Längsstege und damit die Gestaltung aller Kassetten im Grundriss ergibt sich dann durch einfache Projektion der Punkte $d$, $v$, $w$ usw. auf die Linie $m\ e$ – unter Beachtung, dass die Querstege zentral (radial) und die Längsstege konzentrisch verlaufen müssen. Aus dem Grundriss lässt sich dann der Aufriss der Kassettenteilung ebenso leicht ableiten.

Ebenso wie über einem zylindrischen Unterbau kann man Kuppelgewölbe auch über quadratischen sowie über allen anderen regelmäßigen Vielecken errichten. In diesem Fall wird der Übergang vom Vier- oder Vieleck zu den ringförmigen Widerlagern durch besondere Gewölbeteile, die Gewölbezwickel oder Pendentifs, hergestellt. Solche Gewölbe nennt man

Hänge- oder Stutzkuppeln.

In den Figuren 493 bis 495 ist eine Hängekuppel dargestellt, bei der die Zwickel durch waagerecht vorkragende Schichten mit zentral ausgerichteten Stoßfugen gebildet werden.

Durch dieses Auskragen der Zwickel neigen die Schichten dazu, sich zum Rauminneren hin zu senken. Da diese Zwickel jedoch das Widerlager für die obere Kalotte des Kugelgewölbes bilden und das Eigengewicht dieser Kuppel nach außen drängt, wird die Resultierende aus den nach innen und außen wirkenden Kräften – wegen des geringeren Gewichts der Kalotte im Vergleich zum Zwickelmauerwerk – jedenfalls nicht nach außen gerichtet sein. Ein Ausweichen nach innen ist allerdings ebenso wenig zu befürchten, da jede Schicht einen vollständig geschlossenen Ring bildet. Bei solchen Gewölben wird somit kein Seitenschub, sondern nur ein lotrechter Druck auf die Umfassungsmauern ausgeübt.

Eine isometrische Ansicht des Übergangs vom Viereck in die Kreisform der Kalotte zeigt Fig. 496.

Die Figuren 497 und 498 zeigen eine Hängekuppel im Grundriss und Querschnitt, bei der die Zwickel und die Kalotte in schwalbenschwanzförmigen

Schichten gemauert sind. Bei A (Fig. 498) sind die Schichten abwechselnd rechtwinklig (normal) zum Diagonalbogen und zum Scheitelbogen angeordnet. Dies erzeugt eine reiche dekorative Wirkung, weshalb sich diese Wölbungsart besonders für Gewölbe eignet, die unverputzt (sichtgemauert) bleiben sollen.

Werden die Kuppeln in Ringschichten gemauert (Fig. 499), bereitet der Schluss des Gewölbes wegen der dort starken Krümmung der Schichten Schwierigkeiten. Man hilft sich damit, dass man in der Höhe, in der das Wölben in Ringschichten nicht mehr gut durchführbar ist, einen $1/2$ Stein breiten Kranz einwölbt und den Schluss des Gewölbes durch Schwalbenschwanzschichten herstellt (Fig. 500).

Wird über den Gewölbezwickeln eine volle Halbkugel aufgesetzt, entsteht die byzantinische Kuppel (Fig. 501 bei C). Wählt man als Er-

zeugende der Laibungsfläche der Oberkuppel einen Flachbogen, so entsteht eine Flachkuppel (Fig. 501 bei D).

Fügt man zwischen dem unteren, die Gewölbezwickel enthaltenden Teil der Hängekuppel und der Oberkuppel einen lotrechten, zylindrischen Mauerkörper ein, der Trommel oder Tambour genannt wird (vgl. Fig. 503 bei T), und dem als Leitlinie der Grundkreis G (Fig. 504) zugewiesen wird, so entsteht die Hängekuppel mit Tambour, die man auch als Renaissancekuppel bezeichnet.

Die Höhe dieses Tambours kann je nach der architektonischen Gestaltung der gesamten Anlage sehr unterschiedlich ausfallen. Häufig dient er dazu, Öffnungen für den Einlass von Tageslicht in den Kuppelraum aufzunehmen.

Um zu vermeiden, dass der Ansatz der Endzwickel bei Hängekuppeln über einem quadratischen Raum in eine scharfe Schneide ausläuft, versetzt man als Anfänger dieser Zwickel zweckmäßig einen größeren Quader, der der Form des Zwickelanfangs nachgebildet ist und dem ersten Backsteinring als Auflager dient. Alternativ stumpft man die Ecken durch eine Mauer ab, die unter $45^\circ$ zu den Umfassungsseiten des Raumes steht. Als Leitlinie der Kuppel wählt man dann am besten einen Kreis, der durch die Ecken des nun achtseitigen Raumes verläuft (vgl. H in Fig. 504).

Ordnet man über einem rechteckigen Raum eine Hängekuppel an, deren Laibung einer Kugelfläche folgt, erhält man Schildbögen von unterschiedlicher Höhe. Um dies zu vermeiden, kann man anstelle der Kugelfläche ein Ellipsoid verwenden und erhält so das

elliptische Gewölbe,

das man sich durch die Drehung einer Ellipse um ihre große Achse entstanden denken kann. Bei dieser Drehung bewegt sich jeder Punkt der Ellipse auf einem Kreis, dessen Halbmesser dem lotrechten Abstand des Punktes von der großen Achse entspricht. Schnittebenen, die senkrecht zur großen Achse geführt werden, schneiden die Gewölbelaibung daher in Halbkreisen, deren Kämpfer- und Mittelpunkte in der Kämpferebene des Gewölbes liegen. Die Lagerfugenkanten der einzelnen Schichten sind dann Ellipsen, die durch Schnitte waagerechter Ebenen mit der Gewölbelaibung entstehen. Eine solche Ebene, durch die Kämpferpunkte $a\ b\ c\ d$ des Gewölbes (Fig. 506) gelegt, ergibt somit eine Ellipse, die dem Grundriss des Raumes umbeschrieben ist. Zur Bestimmung dieser Ellipse

zeichne man zunächst in Fig. 508 den Querschnitt durch das Gewölbe in Richtung der kleinen Achse $C\ D$ (vgl. Fig. 506). Der Schildbogen $a\ d$ erscheint dann als Halbkreis, der mit dem Radius $\frac{ad}{2}$um den in der\ Kämpferebene liegenden Mittelpunkt$m$ geschlagen ist. Der Scheitelpunkt $e$ des Schildbogens bestimmt zugleich die Höhenlage des Scheitelpunktes $f$ für den Schildbogen der Längsseite. Somit ist $m\ f$ der Radius des kreisbogenförmigen Gewölbeschnitts $C-D$. Vervollständigt man diesen Kreisbogen bis zu seinem Schnitt mit der Kämpferebene, so gibt $m\ g$ die Länge der halben kleinen Achse der gesuchten Ellipse an. Überträgt man diese Länge in den Grundriss (Fig. 506) nach $m_1\ g_1$ und $m_1\ h_1$ und zieht durch die Endpunkte $g_1$ und $h_1$ Parallelen zu den Seiten $a\ b$ und $c\ d$, bis sie die Diagonalen des Raumes in $i$, $k$, $l$ und $n$ treffen, und zieht ebenso durch diese Schnittpunkte Parallelen zu $a\ d$ und $b\ c$, so begrenzen letztere auf der in $m_1$ auf $g_1\ h_1$ errichteten Senkrechten die große Achse $o_1\ p_1$ der Ellipse. Das Zeichnen der Ellipse selbst kann dann auf bekannte Weise mithilfe von Kreisen erfolgen, die um $m_1$ mit den halben kleinen und großen Achsen geschlagen werden.

Um nun den Längsschnitt $A-B$ oder einen beliebigen anderen Höhenschnitt darzustellen, verwendet man am besten lotrechte Hilfsebenen $1, 2$ usw., die senkrecht zur großen Achse stehen. Diese schneiden die Gewölbelaibung in Halbkreisen, die Scheitellinie in den Punkten $q, r, s, t$ usw. und die Schildmauern in den Punkten $f, r_1, s_1, t_1$ usw. Durch Übertragung der Höhenlote $m\ e = e_0 e_2$ $m\ v = v_0 v_2$ $m\ u = u_0 u_2 \text{ usw.}$ beziehungsweise $a\ v_1 = v_0 v_3$ $a\ u_1 = u_0 u_3$ $a\ t_1 = t_0 t_3 \text{ usw.}$ aus Fig. 508 nach Fig. 505 und durch Verbinden der Endpunkte $e_2$, $v_2$, $u_2$ usw. beziehungsweise $e_3$, $v_3$, $u_3$ usw. mittels stetig gekrümmter Linien erhält man den Verlauf der Scheitellinie und des Schildbogens der Längsseite des Raumes. Auf gleiche Weise kann jeder beliebige andere Punkt der Gewölbelaibung bestimmt werden, sodass auch die Darstellung des Schnittes $E-F$ (Fig. 507) keine weiteren Schwierigkeiten bereitet.

Die Lagerfugenflächen der Ringschichten bilden windschiefe Flächen. Sie werden durch gerade Linien erzeugt, die in jedem Punkt der elliptischen Lagerfugenkante senkrecht (normal) zur Kuppellaibung stehen und deshalb unterschiedliche Neigungen zur Kämpferebene aufweisen. Durch eine entsprechende stärkere oder schwächere Ausbildung der Mörtelfugen kann die Windschiefheit der Lagerflächen ohne nennenswerten Nachteil für die Qualität der Ausführung ausgeglichen werden.

Für die Bestimmung der Gewölbestärke von Kuppelgewölben können die folgenden empirischen Regeln einer statischen Untersuchung zugrunde gelegt werden:

Die Ermittlung der Widerlagsstärke muss ebenfalls durch eine Stabilitätsuntersuchung für jeden Einzelfall erfolgen.

Nach Rondelet sollen die Widerlager halb so stark bemessen sein wie die des Tonnengewölbes , also gleich $\frac{1}{8}$ der Spannweite.

Nimmt man an, dass über einem beliebig gestalteten Raum ein Kugelgewölbe errichtet ist, dessen größter, in waagerechter Ebene liegender Kugelkreis nicht wie bei der Hängekuppel durch die Ecken der Grundrissfigur verläuft, sondern vollständig außerhalb dieser Figur liegt, so erhält man das

Böhmische Kappengewölbe

das in Österreich auch Platzelgewölbe genannt wird. Die Stirnbögen erscheinen dann als Flachbögen. Hierdurch wird der Einbau größerer Tür-, Gurtbogen- oder Fensteröffnungen wesentlich erleichtert. Daher eignet sich dieses Gewölbe besonders für Räume, die einen möglichst großen Luftraum erhalten und einen freien Übergang zu angrenzenden Räumen gestatten sollen. Die Pfeilhöhe des Gewölbes wird mit $\frac{1}{8}$ bis $\frac{1}{12}$, meistens mit $\frac{1}{10}$ der Länge der größten Diagonale der Grundrissfigur des zu überwölbenden Raumes angenommen.

Handelt es sich um die Überwölbung quadratischer oder rechteckiger Räume, nimmt man den Mittelpunkt der Kugel, deren Oberfläche die Gewölbelaibung bildet, lotrecht unter oder über dem Schwerpunkt der Grundrissfigur an. Die Kämpferpunkte des Gewölbes liegen dann alle in einer waagerechten Ebene. Jede lotrechte Ebene, die durch den Schwerpunkt gelegt wird, schneidet daher auch den Mittelpunkt der Kugel und die Kugeloberfläche in einem größten Kreis. In Fig. 511 ist ein solcher Schnitt in Richtung der Diagonalen $b\ d$ umgeklappt dargestellt, wobei die Pfeilhöhe des Bogenstückes $b\ d$ annähernd mit $\frac{bd}{8}$ gewählt ist. Da der Grundriss des zu überwölbenden Raumes ein Quadrat ist, müssen die vier Widerlagsbögen gleich geformt sein. Ihre Form kann mithilfe der größten Kugelkreise bestimmt werden, deren Ebenen lotrecht zu den Widerlagsmauern stehen. In Fig. 511 ist ein solcher Kreis in Richtung $e\ f$ angenommen. Denkt man sich diesen um $e$ gedreht, bis $e\ f$ in die Richtung von $e\ b$ (also $f$ nach $g$) gelangt, so muss sich das Bogenstück von $e$ bis $f$ mit dem Stück $s\ h$ des Diagonalbogens decken, da beide Bögen Teile der größten Kugelkreise sind. Daraus folgt, dass der Punkt $f$ des Wandbogens um das Stück $g\ h$ über dem Kämpferpunkt $b$ liegen muss. Trägt man dieses Stück in $f$ lotrecht zu $b\ e$ als $f\ i$ auf, so muss der in die Grundrissebene umgeklappte Wandbogen durch $i$ verlaufen. Da zudem alle Kämpferpunkte auf gleicher Höhe liegen, ist der Wandbogen als Kreisbogenlinie zu zeichnen, die durch die Punkte $b$, $i$ und $c$ geht.

Ein Höhenschnitt in Richtung $A-B$ schneidet die Laibungsfläche wiederum in einem größten Kreis. Demnach muss der Radius $m\ k$, mit dem die innere Gewölbelaibung in Fig. 510 gezeichnet ist, dem Radius des Diagonalbogens entsprechen. Da zudem die Wandebene $a\ b$ parallel zur Schnittebene $A-B$ verläuft, wird die Kugelfläche durch beide Ebenen in konzentrischen Kreisen geschnitten. Folglich muss der Wandbogen $l\ n$ in Fig. 510 aus demselben Mittelpunkt $m$ wie der Schnittbogen $k\ o$ und mit einem Halbmesser gleich dem des in Fig. 511 gezeigten Wandbogens geschlagen werden.

Die Einwölbung erfolgt entweder in ringförmigen Schichten, auf Rutschbogen oder im Schwalbenschwanzverband.

Die erstere Art kommt nur selten und ausschließlich über regelmäßig vielseitigen oder kreisrunden Räumen zur Anwendung, da es schwierig ist, bei anders geformten Räumen die Ringform zu wahren, bevor die Schichten geschlossene Ringe bilden.

Sowohl bei der Einwölbung auf Rutschbogen als auch bei der auf Schwalbenschwanz liegen alle Lagerfugen in Ebenen, die durch den Kugelmittelpunkt verlaufen. Im ersten Fall bildet jede Schicht einen Bogen, dessen Rückenbreite einer Steindicke plus Fuge entspricht und dessen Krümmung Teil eines größten Kugelkreises ist. Im Grundriss müssen sich die Lagerfugenkanten deshalb als Ellipsenteile darstellen. Bei der Ausführung dieser Wölbungsart werden – nachdem die Widerlagsflächen nach der Form der Wandbögen ausgehauen sind – die Lehrbogen C und $\text{C}_1$ (vgl. Fig. 512) der Längsseiten des Raumes aufgestellt und befestigt. Auf diese Lehrbogen wird der nach der Krümmung eines größten Kreises zugeschnittene Rutschbogen D für jede Schicht rechtwinklig (normal) zur Krümmung des Lehrbogens aufgestellt, und die Schicht wird eingewölbt. Sobald eine Schicht geschlossen ist, wird der auf zwei Keilen ruhende Rutschbogen gelöst und für die nächste Schicht verschoben. Damit der verbleibende Raum für die Schlussschicht an den Widerlagern nicht enger wird als am Gewölbescheitel, ist streng darauf zu achten, dass alle Schichten genau lotrecht zur Krümmung der Wandbögen ausgerichtet sind. Wird gegen diese Regel verstoßen, muss der Schluss des Gewölbes durch Schichten erfolgen, die rechtwinklig zu den übrigen stehen.

Die Einwölbung im Schwalbenschwanzverband (Fig. 513) erfolgt ebenfalls ohne Schalung aus freier Hand. Dies ist möglich, weil jede Schicht einen Bogen bildet, der sich gegen die benachbarte Schicht lehnt und daher keiner weiteren Stütze bedarf. Als Lehre für die Gewölbeform dienen Lehrbogen, die an den Wandseiten und in Richtung der Diagonalen aufgestellt werden. Bei größeren Gewölben sind zusätzliche Zwischenbögen E erforderlich.

Ist der Grundriss eines böhmischen Kappengewölbes ein unregelmäßiges Vieleck, so liegen die Fußpunkte der Wandbögen in unterschiedlichen Höhen, sofern die Gewölbelaibung Teil einer Kugelfläche ist.

Sollen die Eckpunkte des Gewölbes für ein besseres Aussehen hingegen alle in einer waagerechten Ebene liegen, kann die Gewölbelaibung keine exakte Kugelfläche, sondern nur eine kugelförmige (sphärische) Fläche sein. Ein Beispiel für ein solches Gewölbe zeigen die Figuren 514 bis 520. Den Scheitelpunkt des Gewölbes nimmt man in der Regel lotrecht über dem Schwerpunkt $s$ der Grundrissfigur an. Weicht dieser jedoch so ab, dass die Längenunterschiede der von $s$ zu den Ecken $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ gezogenen Geraden bedeutend werden, verlegt man ihn zum Ausgleich dieser Unterschiede entsprechend. Danach wählt man für eine beliebige Seite, z. B. $a\ b$, einen flachen Kreisbogen mit der Pfeilhöhe $i\ k$ und bestimmt die Pfeilhöhen der übrigen Wandbögen proportional dazu. Zu diesem Zweck überträgt man $\frac{\text{a\ b}}{2}$ nach $m\ l$ (Fig. 515) und errichtet an einem Endpunkt, hier in $m$, eine Lotrechte, auf der man die Pfeilhöhe $\text{i k} = \text{m w}$ abträgt. Trägt man nun nacheinander die halben Längen der übrigen Grundrissseiten von $m$

aus auf $m\ l$ ab, verbindet $l$ mit $w$ und zieht durch die Teilpunkte $o$, $p$, $q$ und $r$ Parallelen zu $l\ w$, so schneiden diese auf $m\ w$ die Pfeilhöhen $\text{m\ r}_1$, $\text{m\ q}_1$ usw. für die übrigen Wandbögen ab. Von besonderer Bedeutung für die Gestaltung der Laibungsfläche ist die Wahl der Wölblinie, die durch den Scheitel eines beliebigen Wandbogens

und den Gewölbescheitel verläuft. Zweckmäßig wählt man hierfür eine Kreisbogenlinie, die vom Scheitel des Wandbogens zum Gewölbescheitel hin ansteigt. Im vorliegenden Fall sei die Linie $\text{f}_1\ \text{s}_1$ (Fig. 516) als Wölblinie zwischen dem Scheitel des Wandbogens $a\ e$ und dem Gewölbescheitel angenommen. Die Linie $f\ s$ wird als in der Kämpferebene liegend angenommen, woraus $\text{f}\ \text{f}_1 = \text{f}\ \text{f}_2$ folgt, während $\text{s}\ \text{s}_1$ eine Länge besitzen muss, die größer als die Pfeilhöhe des größten Wandbogens ist. Die Figuren 517 und 518 zeigen die auf gleiche Weise ermittelten Wölblinien in den Richtungen $h\ s$ und $g\ s$ der Grundrissfigur.

Durch Fig. 519 wird ein Höhenschnitt durch das Gewölbe in Richtung A–B und durch Fig. 520 das Einwölben eines Gewölbeteils im Schwalbenschwanzverband schematisch veranschaulicht.

Bei einer Pfeilhöhe von mindestens $\frac{1}{10}$der größten Diagonale der Grundrissfigur ist die Gewölbestärke mit$\frac{1}{2}$ Ziegelstein anzunehmen. Bei größerer Spannweite, die jedoch selten 7 m überschreitet, wird die Pfeilhöhe zweckmäßig mit mindestens $\frac{1}{8}$ der Diagonale angenommen. Die Gewölbestärke wird am Scheitel auf $\frac{1}{2}$ Stein und am Widerlager auf 1 Stein, oder besser durchgehend auf 1 Stein bemessen.

Die Stärke des Widerlagers nimmt man mit $\frac{1}{5}$ bis $\frac{1}{4}$ der größten Spannweite des Gewölbes an, jedoch nie unter $2\ \frac{1}{2}$ Steinlängen. Liegen mehrere völlig gleichartig gestaltete böhmische Kappengewölbe nebeneinander, so genügt für die trennenden Mauern meist eine Stärke von $1\ \frac{1}{2}$ bis 2 Steinlängen.

e) Kreuzgewölbe mit den Nebenformen Stern- und Netzgewölbe.

Treffen zwei verschieden breite, rechteckige, mit Tonnengewölben überdeckte Räume quer aufeinander, so schiebt sich die Tonne des schmaleren in die des breiteren Raumes hinein. Es entsteht das unter Abschnitt a) bereits besprochene Tonnengewölbe mit Stichkappen . Haben die beiden Räume dagegen die gleiche Breite und ist die Leitlinie für beide Gewölbe gleich, so bildet deren Verschneidung die Form der gekreuzten Tonne oder des Kreuzgewölbes (Fig. 521).

Die Durchdringungslinien der Tonnen bezeichnet man als Gratlinien, weil die Tonnen in diesen Linien in einer nach unten vortretenden scharfen Kante, dem Grat, zusammenstoßen. Diese sind Kurven einfacher Krümmung, deren Projektionen im Grundriss als gerade Linien erscheinen – mit der einzigen Ausnahme von Gratlinien bei Kreuzgewölben über ringförmigem Grundriss.

Alle Mauern eines Raumes, der mit einem Kreuzgewölbe überspannt ist, sind Stirn- oder Schildmauern, da der Gewölbeschub in Richtung der Gratlinien wirkt und über diese in die Raumecken abgeleitet wird. Der große Vorteil des Kreuzgewölbes gegenüber den in den Abschnitten a bis f besprochenen Gewölbearten besteht darin, dass es sein Gewicht auf einzelne Stützpunkte in den Ecken des überwölbten Raumes überträgt. Dadurch wird die Aufnahme des Seitenschubes – sei es durch Strebepfeiler, Strebebögen oder Zuganker aus Eisen – wesentlich vereinfacht und erleichtert. Deshalb eignet sich das Kreuzgewölbe besonders zur Überdeckung hoher Räume, weil die Widerlager und Schildmauern weit weniger Material erfordern als bei anderen Gewölbearten. Ein weiterer Vorzug des Kreuzgewölbes gegenüber den genannten Gewölben ist die Möglichkeit, dem Raum einfacher Tageslicht zuzuführen: Die Fenster können unabhängig von der Höhe der Kämpferpunkte fast bis zur Höhe der Schildbogenscheitel reichen, ohne dass Stichkappen angeordnet werden müssen.

Die durch den Schnitt der Schildmauern mit dem Gewölbe entstehenden Bogenlinien nennt man Schildbogen-, Wand- oder Randlinien. Den Teil eines Kreuzgewölbes , der von einer Randlinie und den von deren Kämpferpunkten ausgehenden Gratlinien begrenzt wird, bezeichnet man als Gewölbekappe.

Rand- und Gratlinien können die Form eines Halbkreises, Spitzbogens, einer Ellipse, eines Flachbogens oder einer anderen geometrisch definierten, ebenen Kurve haben. Dabei ist es keineswegs erforderlich, dass die Form der Randlinien von der Form der Gratlinien abhängt; beispielsweise können die Gratlinien als Halbkreise und die Randlinien als Spitzbögen ausgeführt werden. Haben Rand- und Gratlinien die Form von Flachbögen, so bezeichnet man das Gewölbe speziell als Kreuzkappe .

Ein Schnitt durch ein Kreuzgewölbe, der vom Scheitel einer Randlinie zum Gewölbescheitel (also in Richtung der Scheitellinie einer Gewölbekappe) verläuft, kann eine waagerechte Linie (Fig. 522 und 523), eine gerade ansteigende (Fig. 524), eine gerade abfallende (Fig. 525) oder eine flachbogige Linie sein. Man spricht daher von Kreuzgewölben ohne Stich, von solchen mit geradem Stich, mit fallendem Scheitel oder mit Bogenstich. Die Kappen der Kreuzgewölbe ohne Stich, mit geradem Stich oder mit gerade abfallenden Scheitellinien gehören zylindrischen Flächen an. Die Kappen von Gewölben mit Bogenstich gehören dagegen zu Kugel- oder rotationssymmetrischen (sphäroidischen) Flächen; sie sind gebust.

Beim Bogenstich ist zu unterscheiden, ob die Scheitellinie als regelmäßiger Kreisbogen geformt ist, dessen Mittelpunkt auf dem vom Gewölbescheitel zur Kämpferebene gefällten Lot liegt (Fig. 526), oder ob sie für jede Kappe aus einem anderen Mittelpunkt geschlagen ist, sodass am Gewölbescheitel ein Knick in der Scheitellinie entsteht (Fig. 527).

Man unterscheidet einfache und mehrteilige Kreuzgewölbe . Bei den ersteren entspricht die Zahl der Gewölbekappen der Seitenanzahl des Grundrisses. Bei den mehrteiligen Gewölben kann die Zahl der Kappenfelder durch das Einspannen weiterer Bögen zwischen die Schild- und Gratbögen beliebig vermehrt werden. Die waagerechten Projektionen der Schnittlinien der Gewölbekappen bilden dann stern- oder netzartige Figuren, weshalb man solche Konstruktionen als Netz- oder Sterngewölbe bezeichnet.

Die wichtigsten Formen der einfachen Kreuzgewölbe sind:

1. Kreuzgewölbe mit waagerechten Scheitellinien und gleich hohen Rand- und Diagonalbögen.

Diese Gewölbe werden auf einem vollständig eingeschalten Lehrgerüst in Kuf- oder Schwalbenschwanzschichten ausgeführt. Die...

Die Figuren 528 bis 530 zeigen ein solches Gewölbe über einem quadratischen Raum nebst seiner Rüstung.

Bei kleineren Gewölben bis etwa 4 m Spannweite kann die Einschalung auch so erfolgen, wie in Fig. 531 dargestellt. Hierbei werden für die Schildbögen vier Lehrbögen aufgestellt, von denen zwei gegenüberliegende als Auflager für die vollständige Schalung eines Tonnengewölbes dienen. Auf dieser Schalung lassen sich die Gratlinien mit rötelgefärbten Schnüren anreißen. Diese in $s\ s^1$ angedeuteten Schnüre werden nach $a\ a^1$ herabgeführt, sodass sie auf der Schalung des Tonnengewölbes die Gratlinien markieren. Danach erfolgt die weitere Einschalung von den gegenüberliegenden Schildbögen aus, wobei die Schalbretter entlang der Gratlinien mit der nötigen Abkantung angepasst werden müssen. Beträgt der Abstand zweier gegenüberliegender Schildbögen mehr als 2 m, wird zur besseren Unterstützung der Schalung ein zusätzlicher Lehrbogen mittig zwischen den Schildbögen aufgestellt. Ebenso kann die über der tonnenförmigen Schalung aufgesattelte Schalung für die dritte und vierte Gewölbekappe bei Bedarf durch Zwischenlehrbögen unterstützt werden, die auf der ersten Hauptschalung aufliegen.

Soll ein solches Gewölbe über einem unregelmäßigen, vieleckigen Raum ausgeführt werden, wählt man den Gewölbescheitel zweckmäßig so, dass seine waagerechte Projektion mit dem Schwerpunkt des Grundrisses zusammenfällt. In Fig. 532 sei der Schwerpunkt des Fünfecks $a\ b\ c\ d\ e$ in $s$ ermittelt.

Die geraden Verbindungslinien der Raumecken mit $s$ sind dann die waagerechten Projektionen der Gratlinien. Um die Gewölbeform festzulegen, muss entweder eine Randlinie oder eine Gratlinie vorgegeben werden, von der alle übrigen Rand- und Gratlinien abhängen. Im vorliegenden Fall wird die Gratlinie über $d\ s$ als Viertelkreis $d\ s_1$ angenommen. Da die Scheitellinien waagerecht verlaufen und die Kappen zylindrische Flächen bilden, erzeugen alle parallel zu den Scheitellinien geführten Schnittebenen in den Kappenflächen ebenfalls waagerechte Linien. Folglich müssen beispielsweise die Höhen $$f_0\ f_2 = f\ f_1 = f_3\ f_4$$ $$g_0\ g_2 = g\ g_1 = g_3\ g_4$$ $$h_0\ h_2 = h\ h_1 = h_3\ h_4$$ gleich sein. Die Form der Randlinien über $c\ d$ und $e\ d$ erhält man, indem man die Endpunkte $d, h_2, g_2, f_2$ beziehungsweise $d, h_4, g_4, f_4$ usw. durch eine stetig gekrümmte Kurve verbindet. Auf die gleiche Weise werden die übrigen Rand- und Gratlinien ermittelt.

2. Kreuzgewölbe mit geradem Stich und gleich hohen Rand- und Diagonalbögen.

Sollen diese Gewölbe in Kufschichten gemauert werden, sind sowohl für die Gratbögen als auch für die Kappen eigene Lehrbögen aufzustellen, auf denen die Schalung befestigt wird. Gemäß Fig. 533 wird in Richtung der Gratlinie $b\ d$ un ganzer Lehrbogen aufgestellt. Der Lehrbogen des anderen Grates besteht aus zwei Hälften, die gegen den ersten Lehrbogen stoßen und daran mit Dreiecksleisten befestigt werden. Wie beim Klostergewölbe ist diese Kreuzungsstelle der Gratlehrbögen durch einen Stützpfosten (Mönch) zu unterfangen. Für die Kappen sind Schildlehrbögen und bei größeren Spannweiten Zwischenlehrbögen in Abständen von 1,0 bis 1,5 m vorzusehen. Dieses Gerüstsystem trägt dann

die Schalbretter oder Schallatten. Soll ein solches Gewölbe im Schwalbenschwanzverband gemauert werden, kann – erfahrene Maurer vorausgesetzt – auf eine Einschalung gänzlich verzichtet werden. In diesem Fall werden an den Schildmauern direkt beim Aufmauern die Widerlagerflächen für die Kappen ausgespart. Als Führung für das Einwölben aus freier Hand stellt man Lehrbögen in Richtung der Gratlinien auf. Manchmal wird zusätzlich ein Scheitelbrett verwendet, dessen Oberkante nach dem Verlauf der Scheitellinie profiliert ist. Über diesem Brett stoßen dann die ineinandergreifenden Schichten der Schwalbenschwanzwölbung zusammen.

Bei allen größeren Kappengewölben werden die Gratbögen stärker ausgeführt als die Kappen. Diese können im Verband mit den Kappen oder als selbstständige Bauteile hergestellt werden, an die die Kappen stumpf anstoßen. Das Einmauern der Kappen erfolgt in letzterem Fall erst nach der Fertigstellung der Gratbögen. Treten die Gratbögen nicht nur nach oben, sondern auch nach unten aus der Gewölbelaibung hervor, bezeichnet man sie als Rippen. Diese werden aus Formziegeln oder häufiger aus Werksteinen hergestellt, die am Gewölbescheitel passgenau an einen entsprechend geformten Schlussstein anschließen.

Die Figuren 534 bis 538 zeigen ein Kreuzgewölbe mit geradem Stich über einem quadratischen Raum. Die ein Stein starken Grate stehen im Verband mit den im Schwalbenschwanzverfahren gewölbten Kappen. Als Widerlager dienen Rundsäulen mit darüberliegenden Gewölbeanfängern (Gewölbefängern) aus Werkstein.

Zur zeichnerischen Ermittlung der Lagerfugenkanten im Grundriss stellt man den Diagonalschnitt dar, siehe Fig. 536. Die Gratlinie $a\ s^1$ erhält man durch Projektionsübertragung (Vergatterung) aus der Schildbogenlinie $a_0\ s_2$ unter Berücksichtigung des Gewölbestichs $s_3\ s_0$, sodass beispielsweise

$$s\ s_1 = s_0\ s_2 \quad \text{und} \quad b\ b_1 = b_0\ b_2$$ sein muss. Diese stellt sich als halbe Ellipse dar. Ihre halbe Hauptachse $a\ m$ wird ermittelt, indem man auf $s\ s_1$ von $s$ aus die Strecke $s\ n$ gleich der Stichhöhe $s_0\ s_3$ anträgt und von $s_1$ aus ein Lot $s_1\ m$ auf die durch $a$ und $o$ verlaufende Achsenrichtung fällt. Dieses Lot bildet zugleich die kleine Halbachse. Zieht man nun um $s_1$ einen Kreisbogen mit dem Radius der halben Hauptachse, schneidet dieser die Hauptachse in den Brennpunkten $B$ und $B_1$ der Ellipse. Da die Lagerfugenebenen der Wölbschichten senkrecht (normal) zur Krümmung der Gratlinie stehen müssen, ermittelt man ihre Richtung, indem man die auf der Gratlinie festgelegten Fugenkanten mit den Brennpunkten verbindet und den Winkel zwischen diesen Strahlen halbiert. In Fig. 536 ist eine solche Lagerfugenebene an Stelle $N$ konstruiert. Da sich die Lagerfugen zwischen den Gratlinien und Schildbogenlinien bzw. zwischen den Gratlinien und Scheitellinien erstrecken, sind die Projektionen dieser Linien in Fig. 536 als $a\ n\ s$ und $n\ s_1$ dargestellt. Die in der Ebene $N$ liegende Lagerfuge reicht von $p$ bis $r$; die Grundrissprojektionen dieser Endpunkte werden durch einfaches Lotfällen in $p_1$ und $r_1$ ermittelt. Da alle parallel zu den Scheitellinien verlaufenden Schnitte durch die Gewölbekappen im Grundriss wiederum Linien ergeben, die parallel zu den Grundrissprojektionen der Scheitellinien verlaufen, lassen sich mit solchen Hilfsschnitten beliebig viele zwischen $q$ und $r$ liegende Fugenpunkte im Grundriss bestimmen. In Fig. 536 ist ein solcher Schnitt von $t$ nach $n$ parallel zu $n\ o_1$ geführt, dessen Grundrissprojektionen die Linien $t_1\ n_1$ ergeben. Der Schnittpunkt $v$ dieses Schnitts mit der Fuge $q\ r$ projiziert sich im Grundriss nach $v_1$. Demnach muss die Fugenkante von $r_1$ über $v_1$ nach $p_1$ gezeichnet werden.

Um die wahre Form der Steinschichten zu erhalten, stellt man deren Umklappung dar, wobei $v,v_2$ senkrecht auf $p,r$ und gleich $v_0,v_1$ sowie $r,r_2$ senkrecht auf $p,r$ und gleich $r_0,r_1$ sein müssen. Durch Antragen der Gewölbestärke von $\frac{1}{2}$ Stein erhält man die Außenlinie (Rückenlinie) des Gewölbes. Trägt man nun zur Festlegung des Gratbogenquerschnitts (der hier mit 1 Stein Breite und 1 Stein Höhe angenommen ist) das Quadrat $1, 2, 3, 4$ mit der Seitenlänge von 1 Stein so an, dass die Seiten $2,3$ und $1,4$ senkrecht auf der Fuge $p,r$ stehen und von dieser halbiert werden, und zieht in den Schnittpunkten der Seiten $1,2$ und $3,4$ mit den Fugenkanten $p,r_2$ die Senkrechten (Normalen) $w,x$ und $y,z$, so erhält man in $w,x,z,y,p$ die Form des Gratquerschnitts. Da die Grate im Verband mit den Kappen gemauert werden, müssen die Fugen auch im Grat versetzt verlaufen. Eine an die Fuge $N$ angrenzende Schicht ist daher wie in Fig. 537 auszubilden.

Diese Gewölbe erhalten – besonders wenn sie auf schlanken Säulen oder Pfeilern ruhen – zweckmäßig Anfängersteine aus Werkstein (Haustein), die an ihrer Oberseite senkrechte Lagerebenen zur Aufnahme der Kappen und Gurtbögen besitzen. In den Figuren 538 und 534 bei $A$ ist die Konstruktion eines solchen Anfängers dargestellt. Nimmt man an, dass der Anfängerstein im Diagonalschnitt (Fig. 538) bis zur Fuge $c$ reichen soll, und bestimmt man die Richtung dieser Fuge wie bei Fuge $N$ in Fig. 536, so muss sie von der Gratlinie bis zur Schildbogenlinie (also von $c$ bis $c_1$) verlaufen. Die Grundrissprojektion dieser Fuge wird auf dieselbe Weise wie für die Fuge $p,r$ in Fig. 536 ermittelt und stellt sich als Linie $c_0,c_2$ dar. Verlängert man in Fig. 538 die Fugenebene $c,c_1$ bis zu ihrem Schnittpunkt $d$ mit der Kämpferebene $K$, so wird die Grundrisspur dieser Ebene durch die senkrecht zur Gratlinie stehende Linie $d,e$ bestimmt. Für den durch die Scheitellinien $f,s$ und $g,s$ begrenzten Gewölbeteil ist die Länge dieser Spur mit $e,e$ gegeben. Die von $e$ zu den Anschlusspunkten $c_2$ der Lagerfugenkanten verlaufenden Linien bilden die seitliche Begrenzung der Kappenlagerfläche, welche somit die Form $c_0,c_2,h,c_2$ erhält. Durch Wiederholung dieser Konstruktion für die übrigen am Pfeiler angrenzenden Gewölbekappen bestimmen sich die weiteren Kappenlagerflächen. Die Lagerflächen der Gurtbögen enden in den waagerechten Schnittlinien durch $h, i, k$ und $l$. Da die Gratbögen Teile der Kappen sind, müssen sie in den Punkten $h, i, k$ und $l$ anfangen und schließen in $h_1,h_2$ (Fig. 538) lotrecht an die Widerlager der Gurtbögen an.

Die isometrische Darstellung einer Stütze mit dem darauf ruhenden Anfängerstein zeigt Fig. 539.

Bei einem Gewölbe über einem unregelmäßigen, vieleckigen Raum ist, wie in dem in Fig. 532 gezeigten Fall, zunächst die Form einer Rand- oder Gratlinie sowie die Steigung (Stechung) einer Gewölbekappe festzulegen. In Fig. 540 wird die Randlinie über $e,d$ als Halbkreis und die Steigung der Kappe $e,d,s = s,f$ angenommen. Die Randlinien der übrigen Kappen bestimmen sich dann, wie bei Fig. 532, durch Projektionsübertragung aus der gegebenen Randlinie. Es muss gelten:

$$g,g_1 = g_2,g_3 = g_4,g_5$$ $$h,h_1 = h_2,h_3 = h_4,h_5 \text{ usw. sein.}$$

Bedenkt man weiterhin, dass die Kappenflächen erzeugt werden, indem man die Randlinien so parallel zu den Wandseiten verschiebt, dass

ihre Scheitelpunkte auf den Scheitellinien und ihre Schenkel auf den Gratlinien gleiten, so müssen sich alle Punkte der Randlinien bei dieser Bewegung gleichmäßig heben. Verschiebt sich also der Scheitel der Randlinie von $h$ nach $(h)$, muss der Punkt $g$ in der Position $(g)$ um das gleiche Maß wie $h$, also um die Strecke $(h),i$, ansteigen. Daraus ergibt sich ein Punkt $g$ der Gratlinie durch Antragen der Höhe $k,g = g,g_1 + (h),i$. Danach bereitet das Bestimmen weiterer Punkte der Gratlinien und das Vorzeichnen von deren Verlauf keine Schwierigkeiten mehr.

3. Kreuzgewölbe mit Bogenstich.

Die Scheitellinien zweier gegenüberliegender Kappen bilden einen regelmäßigen Kreisbogen, dessen Mittelpunkt auf dem vom Gewölbescheitel zur Kämpferebene gefällten Lot liegt.

Nach den unter 1 und 2 beschriebenen Konstruktionsmethoden ergeben sich bei rechteckigen Grundrissen wie auch bei unregelmäßigen Vielecken an den meisten Wandseiten elliptische Randlinien, die ästhetisch unbefriedigend wirken. Gibt man zur Vermeidung dieses Nachteils allen Wandbögen eine Halbkreisform, müssen die schmalen Kappen eine sehr starke Steigung erhalten. In vielen Fällen liegen dann die Scheitellinien der schmalen Kappen (vgl. Fig. 541, Schnitt a–b) zum Gewölbescheitel hin unterhalb der Gratlinie. Dadurch hängt die Kappe in diesem Bereich muldenartig herab, wie in der Aufrisszeichnung (Fig. 542) deutlich zu sehen ist. Diese unschöne und konstruktiv bedenkliche Muldenbildung lässt sich vermeiden, indem man anstelle des geraden Stichs einen Bogenstich wählt. Die Laibungsflächen der Kappen bilden dann keine zylindrischen Flächen mehr, sondern kuppelartig gewölbte Flächen; sie sind gebust. Wählt man für die Schildbogenlinien und die Gratlinien Halbkreise und für die Scheitellinien Kreisbögen, deren Radius dem der Gratlinien entspricht, so bilden die Kappenlaibungen eine Kugelfläche. Es entsteht dadurch kein Kreuzgewölbe, sondern eine Stutzkuppel. In diesem Fall ist es nötig, die Kappen so stark zu wölben (busen), dass sie außerhalb der Kugelfläche liegen, den Mittelpunkt der Scheitellinien also oberhalb der Kämpferebene anzuordnen. Das Mauern dieser Gewölbe erfolgt in der Regel aus freier Hand im Schwalbenschwanzverband.

In Fig. 543 ist ein solches Gewölbe über einem rechteckigen Raum dargestellt, wobei als Stich für die Kappen der Längsseiten der Flachbogen $e,s_1,f$ gewählt wurde. Die Gratlinien ergeben sich durch dieselbe Projektionsübertragung, wie sie für das Gewölbe mit gerader Steigung in Fig. 540 näher erläutert ist. Die Scheitellinie der Kappen für die Schmalseiten wird ermittelt, indem man die Höhen der Randlinie über $a,b$ von den Höhen der Gratlinie abzieht. Je stärker die Wölbung (Busung) der Kappenflächen ausgeführt wird, desto deutlicher treten die Grate hervor und desto ausgeprägter zeigt sich der Charakter des Kreuzgewölbes.

4. Die gebusten Kreuzgewölbe.

Auch wenn die Laibungen der unter Punkt 3 besprochenen Kreuzgewölbe kugelförmige Flächen bilden (also gebust sind), versteht man unter gebusten Kappen gemeinhin solche, deren flachbogig gekrümmte Scheitellinien für jede Kappe aus einem anderen Mittelpunkt geschlagen sind. Hierbei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

• a) Die Scheitel der Grat- und Randlinien liegen auf gleicher Höhe;
• b) die Scheitel der Gratlinien liegen höher als die Scheitel der Randlinien;
• c) die Scheitel der Gratlinien liegen tiefer als die Scheitel der Randlinien;

Den Randlinien gibt man meist die Form von Spitzbögen, während für die Gratlinien entweder ein Halbkreis oder ein Spitzbogen gewählt wird.

Sind die aneinandergrenzenden Seiten eines rechteckigen Grundrisses sehr unterschiedlich lang und sollen die Randlinien die gleiche Scheitelhöhe erhalten, muss man die Schildbögen der kürzeren Seiten stelzen (erhöhen), da sie sonst eine unschöne lanzettartige Form annehmen. Ist zum Beispiel in Fig. 544 der Schildbogen $b,e,c$ der längeren Rechteckseite vorgegeben und soll der Schildbogen über $a,b$ die gleiche Scheitelhöhe erhalten wie der erste, zeichnet man den gewünschten Spitzbogen $g,h,f$ und verlängert dessen Schenkel senkrecht nach unten bis zu den Punkten $a$ und $b$. Die Strecken $a,g$ und $b,f$ bilden dann die Stelzen.

Verzichtet man bei der Verwendung von Spitzbögen für die Schild- und Gratbögen auf das Stelzen der Schildbögen an den kürzeren Grundrissseiten, lassen sich die Kappen aus Flächen zusammensetzen, die exakt zu Kugelflächen gehören. Ist beispielsweise in Fig. 545 der Schildbogen über $a,d$ als ein aus den Mittelpunkten $m_1$ und $m_2$ geschlagener Spitzbogen $a,e,d$ angenommen, muss der Mittelpunkt der zugehörigen Kugelfläche auf einer beliebigen Stelle des in $m_1$ auf $a,d$ errichteten Lotes liegen. Es sei hierfür der Punkt $M$ gewählt. Dann muss ein Großkreis der Kugel durch den Eckpunkt $d$ verlaufen, also mit dem Radius $M,d$ um $M$ geschlagen werden. Nimmt man nun einen Schnitt in Richtung $M,s$ an, wird die Kugelfläche wieder in einem Großkreis geschnitten. Folglich entspricht die Höhenlage des Gewölbescheitels über dem Kämpferpunkt $d$ dem in $s$ senkrecht auf $M,s$ errichteten Lot $s,s^0$. Da der Gewölbescheitel lotrecht über $s$ liegen muss, erhält man ihn durch Umklappung in den Grundriss, indem man das in $s$ senkrecht zu $s,d$ errichtete Lot $s,s_2 = s,s_0$ macht. Der Mittelpunkt der Gratlinie muss aus naheliegenden Gründen auf der Linie $b,d$ und auf einer im Halbierungspunkt der Sehne $d,s_2$ errichteten Senkrechten liegen, also im Punkt $M_1$. Diesen Mittelpunkt erhält man auch einfach, indem man von $M$ das Lot $M,M_1$ auf $d,s$ fällt. Würde man also umgekehrt von

vornherein den Mittelpunkt für den Gratbogen $d\ s$ willkürlich im Punkt $M_1$ annehmen, müsste der Mittelpunkt $M$ der Kugelfläche der Schnittpunkt des Lotes in $m_1$ auf $a\ d$ und des Lotes in $M_1$ auf $d\ s$ sein. Die Scheitellinie $g\ s$ hat bezüglich dieser Gratlinie und der Schildbogenlinie die Höhen $s\ s_2$ bzw. $g\ e$ über dem Kämpferpunkt $d$. Bei der Umklappung in den Grundriss stehen diese Höhenlote senkrecht auf $s\ g$ und müssen die Längen $s\ s_1 = s\ s_2$ und $g\ e_1 = g\ e$ aufweisen. Der Mittelpunkt $M_2$ der Scheitellinie wird analog zum Mittelpunkt der Gratlinie ermittelt, indem man im Halbierungspunkt der Sehne $e_1\ s_1$ eine Senkrechte errichtet und diese mit der über $s$ hinaus verlängerten Grundrissprojektion $g\ s$ der Scheitellinie schneidet, oder indem man von $M_1$ ein Lot auf $g\ s$ fällt.

Fig. 546 zeigt das isometrische Bild dieses Gewölbes.

Erhalten die Schildbögen eine Stelzung, während die Gratbögen nicht gestelzt sind, so liegen ihre Konstruktionsmittelpunkte in verschiedenen Ebenen. Die Laibungen der Kappen können dann keine reinen Kugelflächen mehr bilden. Die Abweichung von der Kugelfläche nimmt mit dem Maß der Stelzung zu. Beim Kreuzgewölbe über dem rechteckigen Raum $a\ b\ c\ d$ (Fig. 547) wird angenommen, dass die Scheitelpunkte der Schildbogenlinien auf gleicher Höhe wie der Gewölbescheitel liegen und dass weder die Schildbogenlinie über $a\ d$ noch die Gratlinien gestelzt sind. Für den Schildbogen über $a\ b$ wird eine Stelzung $a\ f = a\ f_1 = a\ f_2$ vorausgesetzt, wobei der Bogen selbst als Spitzbogen aus den Mittelpunkten $m$ und $m_1$ geschlagen ist. Die frei wählbare Scheitellinie der Kappe $a\ s_0\ b$ sei der in Fig. 548 aus $o$ geschlagene Flachbogen $s_2\ g_2$.

Nimmt man die Erzeugende der Kappenfläche $a\ s_0\ b$ als Kreisbogen an, dessen Radius dem Radius $m\ e$ der Schildbogenlinie über $a\ b$ entspricht, und setzt voraus, dass sich diese parallel zu $a\ b$ so bewegt, dass sie auf der Gratlinie $a\ s_1$ gleitet, während ihr höchster Punkt auf der Scheitellinie bleibt, so projiziert sich diese Erzeugende in den Positionen I, II und III im Aufriss (Fig. 548) als die Linien $h\ i$, $k\ l$ und $n\ p$. Da diese Linien parallel zur Schildbogenlinie verlaufen, müssen sie in der Projektion auf die in Fig. 547 dargestellte Schildbogenebene in ihrer wahren Form erscheinen – also als Kreisbögen mit dem Radius $m\ e$ des Schildbogens. Überträgt man die Höhen der Endpunkte $h, i, k, l$ usw. aus Fig. 548 folgerichtig nach Fig. 547 und berücksichtigt, dass diese Endpunkte auf der Scheitellinie bzw. der Gratlinie liegen, erhält man sie in den Punkten $i_0, l_0, p_0$bzw.$h_0, k_0$und$n_0$. Schlägt man dann mit dem Radius $m\ e$ Kreisbögen aus den zusammengehörenden Endpunkten (also aus $i_0$ und $h_0$, $l_0$ und $k_0$, $p_0$ und $n_0$), so ergeben sich die Schnittpunkte $r, s$ und $t$ als die Mittelpunkte für die Erzeugende in den Positionen I, II und III.

Zur genaueren Definition der Kappenfläche können waagerechte Ebenen $G$, 1, 2 und 3 dienen, die man in der Höhe des Schildbogenscheitels $g$ und der unteren Endpunkte $h_0, k_0$ und $n_0$ der Erzeugenden in den Lagen I, II und III annimmt. Die Schnittpunkte (Durchgangspunkte) der Erzeugenden mit diesen Ebenen liegen auf Wölblinien, die in diesen Ebenen verlaufen. Die Grundrissprojektionen dieser Schnittpunkte werden durch einfaches Übertragen ermittelt, und die Projektionen der Linien selbst durch folgerichtiges Verbinden der Projektionspunkte gezeichnet. Diese stellen sich mithin durch die Kurven $s_0\ (h)\ (k)\ (n)\ g_0$, $h\ k\ n\ g$ usw. dar. In den Aufrissprojektionen Fig. 548 und 549 erscheinen diese Wölblinien als gerade, parallel zu $a\ d$ beziehungsweise $a\ s_0$ geführte Linien $s_2\ g_2$, $h\ n$ usw. bzw. $s_1\ g_1$, $h_1\ n_1$ usw. Da die Form der Kappenfläche durch die Projektionen der Erzeugenden in ihren verschiedenen Lagen, die waagerechten Schnittlinien sowie die Grat- und Schildbogenlinien vollständig bestimmt ist, lassen

sich auch die einzelnen, meist in Normalebenen zum Gratbogen liegenden Wölbschichten leicht in ihren Projektionen darstellen.

Ist bei einem quadratischen Grundriss der Gratbogen als Halbkreis gewählt und sollen die Scheitel der Schildbögen die gleiche Höhe wie der Gewölbescheitel erhalten, können die zwischen den halben Gratbögen liegenden Kappen reine Kugelflächen als Laibung aufweisen. Die Schildbögen müssen dann die Form von Spitzbögen annehmen, deren Mittelpunkte in bekannter Weise ermittelt werden. Diese seien in Fig. 550 in $m_0$ und $m_1$ bzw. $m_2$ und $m_3$ festgelegt. Der Mittelpunkt $M$ der Kugelfläche für den Kappenteil $a\ e\ s$ ergibt sich auf Grundlage der in Fig. 545 gezeigten Herleitung als Schnittpunkt des Lotes in $m_1$ auf $a\ b$ und des Lotes in $s$ auf $a\ c$. Der um $M$ mit dem Radius $M\ a$beschriebene Kreis$a\ g$ ist ein Großkreis dieser Kugelfläche. Auf die gleiche Weise erhält man $M_1$ als Mittelpunkt der Kugelfläche des Kappenteils $a\ f\ s$. Da die Scheitel der Schild- und Gratbögen auf gleicher Höhe liegen und die Mittelpunkte der in der Kugelfläche liegenden Scheitellinien in der Kämpferebene des Gewölbes liegen müssen, erhält man letztere als Schnittpunkte der Lote in den Halbierungspunkten der geraden Verbindungslinien $s_1\ f_1, s_2\ e_1$ usf. der Scheitelpunkte mit den Kämpferlinien $a\ b, a\ d$ usf.

Diese Mittelpunkte fallen im vorliegenden Fall mit den Mittelpunkten der Schildbögen zusammen.

Bei dem in Fig. 551 gezeigten Gewölbe über einem rechteckigen Grundriss sei die Gratlinie ebenfalls ein Halbkreis. Sollen die Scheitel der spitzbogigen Randlinien die gleiche Höhe wie der Gewölbescheitel erhalten, werden die Mittelpunkte der Randlinien in bekannter Weise in $m_0$ und $m_1$ bzw. $a$ und $d$ ermittelt.

Die Mittelpunkte der Randlinien über den Schmalseiten des Raumes fallen somit mit den Ecken des Grundrisses zusammen. Dieser Fall tritt bei einem rechteckigen Grundriss immer dann ein, wenn die Gratlinie ein Halbkreis ist und die Länge der Schmalseite der Hypotenuse $a\ e$ eines rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks entspricht, dessen Katheten $a\ g$ und $g\ e$ gleich der halben Längsseite $a\ g$ sind. Sollen die Laibungen der Kappen Kugelflächen bilden, so ergibt sich der Mittelpunkt $M$ der Kugel für die Kappenfläche $a\ s\ g$ als Schnittpunkt des Lotes in $s$ auf $a\ s$ mit dem Lot in $m_1$ auf $a\ b$. Der Mittelpunkt $M_1$ der Kugel für die Kappenfläche $a\ s\ h$ ergibt sich als Schnittpunkt des Lotes in $s$ auf $a\ s$ mit dem Lot in $d$ auf $a\ d$. Da die Mittelpunkte für die Scheitellinien in der Kämpferebene liegen müssen, befinden sie sich an den Stellen, an denen die von $M$ und $M_1$ auf die Kämpferlinien $a\ d$ und $a\ b$ gefällten Lote diese schneiden, also in $i_3$ und $i_0$.

Soll der Gewölbescheitel höher liegen als die Scheitel der Randlinien, so gelten nach Festlegung der Gratlinienform für das Konstruieren der Randlinien dieselben Grundsätze sowohl für quadratische als auch für rechteckige Grundrisse.

Damit die Bogenansätze am Kämpfer gleichmäßig auslaufen, empfiehlt es sich, die Rand- und Gratlinien mit demselben Radius zu schlagen. Dies erleichtert die Ausführung der Gewölbeanfänge und ermöglicht bei profilierten Rippen ein regelmäßiges Herausarbeiten der einzelnen Gliederungen am Anfängerstein. In Fig. 552 sind deshalb die Radien $a\ e_1$, $b\ e$, $a\ f_1$ und $d\ f$ der Randlinien genauso groß gewählt wie der Radius $s\ b$ der halbkreisförmigen Gratlinie.

Möchte man den Kappen reine Kugelflächen als Laibung geben, die von den Rand- und Gratlinien abhängen, so ermittelt man den Mittelpunkt $m_1$ der Kugelfläche für das Kappenstück $a\ g\ s$ als Schnittpunkt des Lotes in $s$ auf $a\ c$ mit dem Lot in $e_1$ auf $a\ b$. Der Großkreis dieser Kugelfläche hat den Radius $m_1\ a$ und ist als Linie I eingezeichnet. Ebenso wie $m_1$ werden die Mittelpunkte $m_2, m_3$ und $m_4$ der Kugelflächen für die Kappenteile $b\ g\ s$, $d\ i\ s$ und $c\ i\ s$ sowie die Mittelpunkte $m_5, m_6, m_7$ und $m_8$ der Kugelflächen für die an die Raumschmalseiten angrenzenden Kappenteile ermittelt.

Legt man nun lotrechte Schnittebenen in Richtung der Scheitellinien $s\ g$ und $s\ h$ durch das Gewölbe, wird der Großkreis I der Kappenfläche $a\ g\ s$ in $n$ und der Großkreis II der Kappenfläche $b\ h\ s$ in $o$ geschnitten. Die Mittelpunkte der Scheitellinien müssen sowohl in diesen Schnittebenen liegen als auch in jenen Ebenen, die durch $m_1$ und $m_5$ lotrecht zu den Ebenen der Scheitellinien verlaufen. Daraus ergeben sich die Radien der Scheitellinien als die Strecken $M_1\ n$ und $M_2\ o$. Nach diesen Vorarbeiten bereitet die Darstellung des Quer- und Längsschnitts keine Schwierigkeiten mehr. Legt man waagerechte Schnittebenen durch das Gewölbe, erzeugen diese auf den Laibungsflächen Kreisbögen als Schnittlinien. Deren Grundrissprojektionen für die einzelnen Kugelflächen werden mit den Mittelpunkten $m_1$ bis $m_8$ gezeichnet. An diesen Linien erkennt man, dass die Kappen in scharfen Gratlinien zusammenstoßen.

Ist über einem unregelmäßigen Grundriss ein gebustes Kreuzgewölbe auszuführen, dessen Scheitel wie im vorherigen Fall höher liegen soll als die Scheitel der Randlinien, kann man zunächst die Form einer beliebigen Gratlinie als Spitzbogen mit frei gewähltem Radius zeichnen. Die Formen der übrigen, ebenfalls spitzbogigen Gratlinien hängen dann von der Scheitelhöhe dieser angenommenen Gratlinie ab.

In Fig. 553 sei $a\ s_1$ die über $a\ s$ angenommene, mit dem Radius $m_1$ gezeichnete Gratlinie. Der Mittelpunkt $m_2$ für die Gratlinie über $b\ s$ wird ermittelt, indem man auf dem in $s$ senkrecht zu $s\ b$ errichteten Lot die Strecke $s\ s_2 = s\ s_1$ anträgt, $s_2$ mit $b$ verbindet, im Halbierungspunkt dieser Linie ein Lot errichtet und dessen Schnittpunkt mit der über $s$ hinaus verlängerten Linie $b\ s$ bestimmt. Die Randlinien können dann mit beliebigen Radien gezeichnet werden; es empfiehlt sich jedoch, um zu große Formabweichungen zu vermeiden, die Radien nach dem Verhältnis der Seitenlängen des Grundrisses zu bestimmen. Selbstverständlich müssen die Scheitelhöhen der Randlinien aufgrund der genannten Voraussetzung niedriger sein als die der Gratlinien. Sollen die einzelnen Kappenstücke Kugelflächen bilden, so wird auf die gleiche Weise, wie bei den vorherigen Gewölben beschrieben, der Punkt $M_1$ als Mittelpunkt der Kugelfläche $a\ g\ s$ mit dem Großkreis I, der Punkt $M_2$ als Mittelpunkt der Kugelfläche $b\ g\ s$ mit dem Großkreis II und der Punkt $M_3$ als Mittelpunkt der Kugelfläche $b\ s\ h$ mit dem Großkreis III bestimmt. Die Mittelpunkte und Großkreise der übrigen Kugelflächen lassen sich ebenso ermitteln. Eine lotrechte Schnittebene in Richtung der Scheitellinie $s\ g$ schneidet die Kugelflächen über I und II in einem Halbkreis mit dem Durchmesser $k\ l$. Damit ist im Bereich $n\ o$ dieses Halbkreises die Scheitellinie über $g\ s$ bestimmt. Ebenso schneidet eine durch $s\ h$ geführte lotrechte Ebene die Kugelfläche über III in einem Kapitel: Decken Halbkreise, deren Durchmesser p q ist, womit im Teil r t dieses Halbkreises die Scheitellinie s h gefunden ist. Das hier beschriebene Verfahren ist in gleicher Weise für die übrigen Kappen anzuwenden.

Busige Kreuzgewölbe werden meist aus freier Hand im Schwalbenschwanzverband (Fig. 555 bei A) eingewölbt. Sie erhalten entweder Gratverstärkungen von mindestens 1 Stein Breite, die um $1/2$ Stein gegen den Rücken der Kappen vortreten und mit den Kappen im Verband stehen (Fig. 554), oder die Kappen werden zwischen selbstständige Schild- und Gratbögen eingespannt, die nach oben und unten gegen die Kappen vorspringen und dann Rippen genannt werden. Werden bei weit gespannten Gewölben einzelne Schichten der Schwalbenschwanzwölbung länger als 1,80 m, so ist ihre Ausführung aus freier Hand unbequem. Man kann die Einwölbung dann auch mit abwechselnden Kuf- und Ringschichten ausführen, wie dies in Fig. 555 bei B dargestellt ist. Den Gewölbeanfang stellt man durch waagerechte Schichtenauskragung (Fig. 554 bei C und C₁) her, wenn man es nicht vorzieht, diesen Teil durch einen Werksteinanfänger zu bilden (vgl. Fig. 539).

Bei den Rippengewölben erhalten die gegen die Kappenflächen vortretenden Gurt-, Schild- und Gratbögen meist eine mehr oder weniger reiche Gliederung. Diese können sowohl aus gebrannten Formsteinen als auch aus Werkstein hergestellt werden.

Meist wird im Scheitel dieser Gewölbe ein Schlussring oder ein Schlussstein angeordnet, an den die Gratrippen anschließen. Bei Verwendung von Backsteinen müssen sowohl die Gratrippen als auch der Schlussring aus einzelnen Steinen zusammengesetzt werden (vgl. Fig. 556). Nur bei kleineren Gewölben, deren Kappen in einer Stärke von $1/2$ Stein ausgeführt werden, können die Steine der Gratrippen aus einem Stück geformt werden. Werden die Gratrippen aus Werkstein gebildet, so ist ein kurzes Stück davon an den Schlussstein anzuarbeiten (Fig. 557).

Die Widerlagerflächen für die Kappen an den Gratrippen können entweder nach Fig. 558 lotrechte, nach den Fig. 559 und 560 schräge oder schließlich nach Fig. 561 schwalbenschwanzförmige Ansätze sein. Die letztere Form eignet

sich besonders dann, wenn die Kappenschichten von unten nach oben gegen die Gratrippen stoßen.

Auf den Tafeln 14 und 15 ist ein Rippengewölbe über einem Raum dargestellt, der an der linken Schmalseite durch drei Seiten eines regelmäßigen Achtecks abgeschlossen ist. Die Gliederung dieses Raumes ist so vorgenommen, dass fünf Seiten des Achtecks voll erscheinen und der übrige Teil der Längsseite mit der Schmalseite ein Rechteck bildet, das vom polygonalen Raum durch einen Gurtbogen getrennt ist. Über dem rechteckigen Raum ist ein vierteiliges, über dem polygonalen Raum ein sechsteiliges Kreuzgewölbe angeordnet; die Kappen dieser Gewölbe werden von Rippen getragen. Aus den Ecken des Raumes steigen Diagonalrippen auf, die sich zugleich mit den vortretenden Schildbogenrippen und bei W (Fig. 1) auch zugleich mit dem Gurtbogen entwickeln müssen. Da die einzelnen Rippen, Schildbogen und Gurtbogen eine gewisse Stärke besitzen müssen, kann der Knotenpunkt der Mittellinien nicht auf der inneren Mauerkante liegen. Er muss vielmehr so weit nach außen gerückt werden, dass sich die um die Mittellinien konstruierten Bogenprofile im Anfänger entwickeln können. Ist das Anfängerprofil festgelegt, so klappt man die Bogenprofile in die Grundrissebene (Fig. 1) um und bestimmt die Höhenlage der Scheitelpunkte, indem man je nach Bedarf die Bögen an den Schmalseiten stelzt. Mit Hilfe der gefundenen Bögen lassen sich dann die Höhenschnitte (Fig. 2 und 3) leicht ableiten. Die Einwölbung wird freihändig im Schwalbenschwanzverband ausgeführt, indem man den einzelnen Schichten einen Stich von $1/10$ bis $1/12$ der größten lichten Weite (hier $1/10\text{ ax}$ in Fig. 4) gibt. Die Lage der Fugenkanten im Grund- und Aufriss wird auf bekannte Weise mit Hilfe eines Diagonalschnittes (Fig. 4) bestimmt. Es sei hier auf die Ausführungen bei der Besprechung der Fig. 534 bis 538 verwiesen.

Auf den Tafeln 16 und 17 ist in Fig. 1 der Grundriss des aus Fig. 1 der Tafeln 14 und 15 entnommenen Knotenpunktes in doppeltem Maßstab dargestellt. Die Grat-, Schild- und Gurtbögen sind in die Grundrissebene umgelegt und die Fugen zwischen den einzelnen Werkstücken eingezeichnet. Diesen Fugen gibt man so lange eine waagerechte Lage, bis der Winkel, den die Waagerechte mit der Bogenlinie bildet, so spitz wird, dass ein Abstoßen der Kanten zu befürchten ist. Von hier aus gibt man den Fugen eine nach den Mittelpunkten der Bögen ausgerichtete Lage. Da sich am Anfänger die Profile der Schild-, Grat- und Gurtbögen noch nicht voll entwickeln können, sie also ineinander verwachsen sind, werden die Anfängersteine für alle Bögen so lange aus einem gemeinsamen Werkstück gebildet, bis sich die Bögen voneinander getrennt haben. Für die Herstellung der Anfängersteine muss man zunächst die Grundrissschablonen (Fig. 7, 8 und 9) aus dem Grundriss unter Weglassung der Profilierung ermitteln, indem man die Lagerfugenkanten der Anfängersteine A, B und C in den Grundriss projiziert. Nachdem die Lagerflächen der Anfängersteine mit Hilfe dieser Schablonen in ihrer Rohform bearbeitet sind, legt man an die Seiten der Steine die Bogenschablonen an und setzt danach die weitere Bearbeitung fort. Erst im Anschluss daran werden die eigentlichen Profilschablonen auf die Lagerflächen gelegt und mit deren Hilfe die Bearbeitung der Steine vollendet. Die Fig. 2, 3 und 5 veranschaulichen die Anfängersteine, Fig. 5 den ersten Bogenstein des Gurtbogens und Fig. 6 den Schlussstein des Gewölbes in isometrischer Ansicht.

Die Stärke der Gewölbekappen nimmt man bis 6 m Spannweite mit $1/2$ Stein, darüber hinaus mit 1 Stein an.

Zylindrische Kreuzgewölbe bis zu 3,5 m Spannweite erhalten, wenn sie unbelastet bleiben, meist weder einen selbstständigen Gratbogen noch eine Gratverstärkung. Bei einer Spannweite bis zu 4 m gibt man dem Gratbogen mindestens 1 Stein und bei einer Spannweite bis zu 9 m $1\frac{1}{2}$ bis 2 Stein Breite und Höhe. Werden bei Backsteinkappen bis etwa 6 m Spannweite Gratverstärkungen angeordnet, die mit dem Mauerwerk der Kappen im Verband stehen, so ist diese Verstärkung in ihrer Breite und Höhe mindestens gleich 1 Stein zu wählen. Gratbögen aus Werkstein sollten bei Gewölben bis 6 m Spannweite nicht unter 20 cm Breite und 25 bis 30 cm Höhe, bei größeren Gewölben aber mindestens 30 cm Breite und 40 cm Höhe erhalten.

Die Widerlagerstärke an den Ecken des Raumes betrage in Richtung der Gratebene $1/6$ bis $1/4$ der Spannweite des Gratbogens, wobei sich die Breite des Widerlagerkörpers zu seiner Länge wie 1 : 1 oder 2 : 3 verhalten soll. Übersteigt die Höhe des Widerlagers von der Fußfläche bis zur Kämpferebene 3 m, so ist die Stärke der Widerlager um etwa $1/10$ der Widerlagerhöhe zu vergrößern.

Die busigen Kappen der gotischen Kreuzgewölbe bleiben meist unbelastet und können bis zu 10 m Spannweite in einer Stärke von $1/2$ Stein ausgeführt werden.

Für die Abmessungen der Gratrippen gotischer Kreuzgewölbe lassen sich keine empirischen Regeln aufstellen. Diese müssen sich meist nach den gewählten Profilierungen richten, zudem ergibt die statische Untersuchung häufig so geringe Querschnittsmaße, dass diese für die Ausführung der gewünschten Profile nicht ausreichen. Bei kleineren Gewölben ragen die Rippen häufig nicht über den Kappenrücken vor und besitzen keinen Rückenansatz; sie erhalten dann etwa 10 cm Breite und 15 bis 20 cm Höhe. Bei Gewölben bis etwa 10 m Diagonallänge schwankt die Breite bei Rippen aus Werkstein zwischen 15 und 25 cm bei einer Höhe von 25 bis 35 cm einschließlich des Rückenansatzes. Bei Rippen aus Backsteinen wählt man in einem solchen Fall eine Höhe und Breite von 1 bis $1\frac{1}{2}$ Stein.

Die Widerlagerstärke gotischer Kreuzgewölbe lässt sich ebenfalls nicht anhand empirischer Regeln festlegen, da die Widerlagerhöhe und die Form dieser Gewölbe in jedem Einzelfall anders sein werden. Daher muss der Bestimmung der Widerlagerstärke bei solchen Gewölben stets eine statische Untersuchung vorausgehen.

Zerlegt man die Gewölbekappen eines einfachen gotischen Kreuzgewölbes , das nur Rand- und Gratbögen besitzt, durch Zwischenbögen, so entsteht das

Mehrteilige Kreuzgewölbe,

das auch die Bezeichnungen Sterngewölbe und Netzgewölbe trägt – je nachdem, ob die Figuren, welche die Rippen miteinander bilden, Sternform besitzen oder netzartig verknüpft erscheinen. Einige Beispiele für die Grundrissanordnungen dieser Gewölbe veranschaulichen die Figuren 562 bis 567. Ebenso verschiedenartig wie die Anordnung der Rippen können auch die Kappenfelder gestaltet werden, die zwischen ihnen liegen. Meist gehören die Laibungen der Kappen Kugelflächen oder kugelförmigen Flächen, seltener Walmflächen an, die mit Stichkappen oder Schildern durchsetzt sind. Die Rippen unterscheiden sich nach ihrer Stellung und Bedeutung in Kreuz- oder Hauptrippen,

Scheitelrippen, Schildbogen- oder Wandrippen, Quer- oder Gurtrippen und Nebenrippen.

Soll ein Sterngewölbe über einem quadratischen Raum errichtet werden, so können die Bögen aller Gewölberippen als Kreisbögen mit gleichem Halbmesser konstruiert werden. In Fig. 568 sei der Diagonalbogen als flacher Spitzbogen aus den Mittelpunkten $i$ und $i_1$ beschrieben.

Schlägt man jetzt mit $d\ i_1$ um $d$einen Kreisbogen und verlängert die Rippenlinie$d\ h$bis zum Schnitt$k$mit diesem Kreisbogen, so erhält man die Form des Rippenbogens$d\ s_2$als Kreisbogenlinie, beschrieben um$k$mit$k\ d$. Ebenso muss $l$ der Mittelpunkt der mit dem Halbmesser $l\ d$ zu zeichnenden Randlinie $d\ s_3$ sein. Sollen nun die Laibungen der einzelnen Kappenfelder Kugelflächen angehören, so muss der Mittelpunkt $M_1$ für die Laibungsfläche $d\ h\ s$ im Schnittpunkt der Lote von $k$ gegen $d\ k$ und von $i_1$ gegen $d\ i_1$ liegen. Der Mittelpunkt $M_2$ für die Laibungsfläche $d\ h\ n$ liegt im Schnittpunkt der Lote von $k$ gegen $d\ k$ und von $l$ gegen $d\ l$. Die aus $M_1$ und $M_2$ beschriebenen größten Kreise der Kugelflächen sind dann I und II. Legt man eine lotrechte Schnittebene durch die Scheitellinien $s\ h$ und $h\ n$, so wird die Kugelfläche über I in einem Halbkreis geschnitten, dessen Durchmesser $o\ p$ ist, und die Kugelfläche II in einem Halbkreis, dessen Durchmesser $q\ r$ ist. Die Mittelpunkte $t$ und $n$ dieser Halbkreise liegen dann in den Loten von $M_1$ und $M_2$ gegen $n\ s$ und die Halbmesser der Scheitellinien $s\ h$ und $h\ n$ sind mithin gleich $t\ o$ beziehungsweise gleich $n\ q$. Da die Mittelpunkte dieser Scheitellinien und die aller Rippenbögen in der Kämpferebene $a_1\ b_1$ liegen müssen, ist die Darstellung des Querschnitts (Fig. 569) ohne Weiteres möglich.

Auch bei rechteckiger Grundrissform kann unter Beibehaltung des gleichen Halbmessers für alle Rippenbögen die Form des Gewölbes bestimmt werden. Da jedoch dann bei lang gestreckten rechteckigen Grundrissformen die Randbögen und auch die übrigen Bögen eine meist ungünstige Form annehmen, nimmt man von der Gestaltung solcher Gewölbe nach festem Halbmesser besser Abstand.

Sollen die Kappenflächen Teile von Kugelflächen sein, so kann man in Fig. 570 den Punkt $e$, aus dem der Gratbogen $d\ s_1$ über $s\ d$ mit $e\ d$ beschrieben ist, als Mittelpunkt der Kappenflächen $s\ h\ d$ und $s\ i\ d$ betrachten. Fällt man jetzt von $e$ gegen $d\ h$ und $d\ i$ die Lote $e\ k$ und $e\ l$, sowie von $k$ ein Lot $k\ m$ gegen $d\ c$ und von $l$ ein Lot $l\ n$ gegen $a\ d$, so können $k$, $l$, $m$ und $n$ als Mittelpunkte der Rippenlinien $d\ h_1$ über $d\ h$, $d\ i_1$ über $d\ i$ sowie der Schildbogenlinien $d\ o_1$ über $d\ o$ und $d\ p_1$ über $d\ p$ angesehen werden. Gleichzeitig sind dann $k$ und $l$ die Mittelpunkte der Kappenflächen $d\ h\ o$ und $d\ i\ p$. Zum Austragen der Scheitellinie über $s\ i$ dient die Kappenfläche $s\ d\ i$, deren größter Kreis I sich mit der Gratlinie $d\ s_1$ deckt. Dieser wird von einer durch $i$ geführten Lotebene in $u$ und $u_1$ geschnitten; somit ist $u\ u_1$ der Durchmesser des Halbkreises, in dem die Kugelfläche der Kappe $d\ i\ s$ geschnitten wird. Der Mittelpunkt dieses Halbkreises liegt dort, wo $u\ u_1$ von dem aus $e$ gegen $u\ u_1$ gefällten Lot getroffen wird, also in $q$. Die Scheitellinie $i_2\ s_2$ ist demnach ein Kreisbogen, beschrieben um $q$ mit $q\ u$. Die Mittelpunkte $r$ der Scheitellinie über $h\ s$ und $v$ der Scheitellinie über $i\ p$ sind auf gleiche Weise wie $q$ zu ermitteln. Ebenso ergeben sich auch die Halbmesser dieser Scheitellinien in $r\ w$ und $v\ x$. Nach diesen Ermittlungen ist die Darstellung der Höhenschnitte ohne Weiteres möglich.

f) Fächer- oder Trichtergewölbe.

Das Fächergewölbe , auch Trichter- oder Strahlengewölbe, normannisches oder angelsächsisches Gewölbe genannt, besitzt als Laibungsfläche eine Umdrehungsfläche. Diese wird durch Drehung einer ebene Kurve um eine lotrechte Achse erzeugt, die Tangente in einem Endpunkt der Kurve ist. Die Erzeugende ist meist ein Viertelkreis oder ein halber Spitzbogen, seltener eine elliptische Linie oder ein Korbbogen. Gewöhnlich sind die Laibungsflächen durch vortretende gegliederte Rippen in viele schmale Gewölbefelder, die sogenannten „Fächer“ oder Gewölbefächer, zerlegt. Die derart gegliederten Gewölbekörper werden von Stützen getragen, deren Querschnitt ein Kreis oder ein regelmäßiges Vieleck ist, oft nimmt er auch durch Hinzufügung rechteckiger oder geschwungener Vorlagen die Kreuzform an. Die Zahl der von einer Stütze ausgehenden Rippen kann beliebig sein. Meist wählt man sie jedoch so, dass sich die gegen die Gewölbefächer vortretenden Teile der Rippen schon am Kämpfer oder doch in geringer Höhe darüber voll entwickeln können. Handelt es sich um die Überdeckung kleinerer Räume mit Fächergewölben, so treten die Stützen als Mauervorlagen auf. Ist dagegen ein Raum von ausgedehnter Grundfläche mit Fächergewölben zu überspannen, so ist der Raum durch Pfeilerstellungen in einzelne quadratische oder rechteckige Abteilungen von möglichst gleichen Abmessungen zu zerlegen.

Die Rippen der einzelnen Gewölbefelder lässt man entweder sternartig zusammentreten oder gegen waagerecht liegende, kreisförmige Abschlussrippen stoßen. Ein Fächergewölbe der ersteren Art veranschaulichen die Fig. 572 und 573, ein solches der zweiten Art die Fig. 574 und 575.

Als Erzeugende der Umdrehungsfläche des Rippensystems ist in Fig. 572 der um $e$ beschriebene Schenkel $a\ s$ eines in der Richtung $a\ c$ stehenden Spitzbogens gewählt. Die Rippeneinteilung ist so vorgenommen, dass die von ihnen begrenzten Winkel in der Grundrissprojektion einander gleich sind. Die Bogenlinien $a\ f$, $a\ g$ und $a\ h$ müssen dann Kreisbögen sein, die alle mit dem unveränderlichen Halbmesser $a\ e$ aus $i$, $k$ und $l$ beschrieben werden können. Die Höhenlage der Scheitelpunkte dieser Kreisbögen ist gleich $m_1\ m_1$, $n_1\ n_1$ und $o_1\ o_1$.

Unter Benutzung dieser sowie einiger weiterer Höhenlote der Rippen ist die Darstellung der Schnittzeichnung A–B leicht auszuführen.

Die zwischen den Rippen liegenden Kappenfelder können mit Busung als Kugelflächen eingewölbt werden. Die in $e$ auf $a\ e$, in $l$ auf $a\ l$, in $k$ auf $a\ k$ und in $i$ auf $a\ i$ errichteten Lote bestimmen in ihren Schnitten 1, 2 und 3 die Kugelmittelpunkte der Kappen I, II und III. Mithin erscheinen die Lagerfugen dieser Kappen in der Grundrissprojektion als Kreisbögen, die aus 1, 2 und 3 beschrieben werden.

Sollen die Scheitelpunkte aller Rippen die gleiche Höhenlage über der Kämpferebene haben, so sind diese durch horizontal liegende Abschluss- und Kranzrippen $a$ und $b$ (Fig. 574) zu verspannen. Die Einwölbung der Kappenfelder zwischen den Fächerrippen kann wiederum nach Kugelflächen erfolgen. Die Zwickel $c$können durch Steinplatten, durch flache\ böhmische Kappen oder durch Klostergewölbe geschlossen werden, während die Kreisflächen$d$ gewöhnlich durch eine flache Kuppel überdeckt werden.